수의 연산 단원에서는 제곱근의 뜻과 성질, 무리수의 개념, 근호를 포함한 식의 사칙계산을 다룬다.[ 1]
위키백과에 이 문서와제곱근
어떤 수
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
제곱근 (제곱根, Square root)이라고 한다.[ 2]
a
{\displaystyle a}
제곱 하여
a
{\displaystyle a}
실수 를
a
{\displaystyle a}
제곱근 이라고 한다. 어떤 수
a
{\displaystyle a}
양수 인 수를 양의 제곱근 이라고 하며,
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
음수 인 수를 음의 제곱근 이라고 하며,
−
x
{\displaystyle -{\sqrt {x}}}
예를 들어,
3
2
=
(
−
3
)
2
=
9
{\displaystyle 3^{2}=(-3)^{2}=9}
9
{\displaystyle 9}
3
{\displaystyle 3}
−
3
{\displaystyle -3}
9
=
3
{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
제곱근은 다음과 같은 성질이 있다.[ 2] [ 3]
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
{\displaystyle a}
(
a
)
2
=
a
,
(
−
a
)
2
=
a
{\displaystyle ({\sqrt {a}})^{2}=a,(-{\sqrt {a}})^{2}=a}
a
2
=
a
,
(
−
a
)
2
=
a
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a,{\sqrt {(-a)^{2}}}=a}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
2
=
|
a
|
=
a
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|=a}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
a
2
=
|
a
|
=
−
a
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|=-a}
제곱근의 대소 관계는 아래와 같다.[ 4]
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,b>0}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
a
<
b
,
−
a
>
−
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}},-{\sqrt {a}}>-{\sqrt {b}}}
a
<
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
제곱근의 곱셈 연산은 다음과 같다.[ 8]
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,b>0}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
a
×
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
a
2
b
=
a
b
,
a
b
2
=
b
a
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}},{\sqrt {ab^{2}}}=b{\sqrt {a}}}
m
a
×
n
b
=
m
n
a
b
{\displaystyle m{\sqrt {a}}\times n{\sqrt {b}}=mn{\sqrt {ab}}}
(
a
b
)
2
=
(
a
b
)
2
=
(
a
)
2
(
b
)
2
=
a
b
{\displaystyle ({\sqrt {ab}})^{2}=({\sqrt {a}}{\sqrt {b}})^{2}=({\sqrt {a}})^{2}({\sqrt {b}})^{2}=ab}
제곱근의 나눗셈 연산은 다음과 같다.[ 8]
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,b>0}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
a
b
=
a
b
{\displaystyle {{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b}}}={\sqrt {a \over b}}}
a
b
2
=
a
b
2
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a \over b^{2}}}={{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b^{2}}}}={{\sqrt {a}} \over b}}
m
a
÷
n
b
=
m
n
a
b
{\displaystyle m{\sqrt {a}}\div n{\sqrt {b}}={m \over n}{\sqrt {a \over b}}}
(
a
b
)
2
=
(
a
b
)
2
=
(
a
)
2
(
b
)
2
=
a
b
{\displaystyle \left({\sqrt {a \over b}}\right)^{2}=\left({{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b}}}\right)^{2}={({\sqrt {a}})^{2} \over ({\sqrt {b}})^{2}}={a \over b}}
제곱근의 덧셈과 뺄셈 연산은 다음과 같다.[ 9]
a
>
0
{\displaystyle a>0}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
m
a
+
n
a
=
(
m
+
n
)
a
{\displaystyle m{\sqrt {a}}+n{\sqrt {a}}=(m+n){\sqrt {a}}}
m
a
−
n
a
=
(
m
−
n
)
a
{\displaystyle m{\sqrt {a}}-n{\sqrt {a}}=(m-n){\sqrt {a}}}
분모가 무리수인 분수 의 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 분모의 유리화 (有理化, Rationalization)라고 한다. 무리수인 분모를 유리수가 되도록 분모와 분자에 같은 수를 곱해 정리하는 방법으로, 분모를 유리화하는 구체적인 과정은 다음과 같다.[ 10]
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,b>0}
a
b
=
a
×
b
b
×
b
=
a
b
(
b
)
2
=
a
b
b
{\displaystyle {a \over {\sqrt {b}}}={a\times {\sqrt {b}} \over {\sqrt {b}}\times {\sqrt {b}}}={a{\sqrt {b}} \over ({\sqrt {b}})^{2}}={a{\sqrt {b}} \over b}}
a
b
=
a
×
b
b
×
b
=
a
b
(
b
)
2
=
a
b
b
{\displaystyle {{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b}}}={{\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}} \over {\sqrt {b}}\times {\sqrt {b}}}={{\sqrt {a}}{\sqrt {b}} \over ({\sqrt {b}})^{2}}={{\sqrt {ab}} \over b}}
a
b
+
c
=
a
(
b
−
c
)
(
b
+
c
)
(
b
−
c
)
=
a
b
−
a
c
b
−
c
{\displaystyle {a \over {{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}={a({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}) \over ({\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}})}={a{\sqrt {b}}-a{\sqrt {c}} \over b-c}}
두 실수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
[ 11]
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
−
b
>
0
{\displaystyle a-b>0}
a
>
b
{\displaystyle a>b}
a
−
b
=
0
{\displaystyle a-b=0}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
−
b
<
0
{\displaystyle a-b<0}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
