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미분과 적분/삼각함수 적분
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미분과 적분
삼각함수의 적분은 아래와 같다.
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sin
2
m
x
d
x
=
1
2
m
(
m
x
−
sin
m
x
cos
m
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C}
∫
cos
2
m
x
d
x
=
1
2
m
(
m
x
+
sin
m
x
cos
m
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx={-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx}+C}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={{\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx}+C}
∫
sec
n
x
d
x
=
sec
n
−
2
x
tan
x
n
−
1
+
n
−
2
n
−
1
∫
cos
n
−
2
x
d
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{n}x\,dx={{\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \cos ^{n-2}x\,dx}+C}
∫
csc
n
x
d
x
=
csc
n
−
2
x
cot
x
−
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1
∫
csc
n
−
2
x
d
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{n}x\,dx={{\frac {\csc ^{n-2}x\cot x}{-(n-1)}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x\,dx}+C}
일반적으로 미분법을 사용하여 계산하되, 일부 함수는 치환적분등을 활용해 계산한다.
고교미적분