- 함수 에 대하여 가 와 다른 값을 가지면서 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 함수 는 에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다. 이때 를 일 때의 함수 의 극한값 또는 극한이라고 한다.
- 특히 함수 는 상수 는 모든 실수 에 대하여 함수 에 대한 의 함숫값이 항상 이므로 의 값에 관계없이 이다.
- 함수 에 대한 의 함숫값 가 존재하면 함수 가 에서 정의되어 있다고 한다.
- 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 한없이 커지면 함숫값 는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다.
- 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함숫값 는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다.
- 함수 에 대하여 가 한없이 커질 때 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지는 것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다.
- 함숫값 가 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.
-
-
- 가 보다 큰 값을 가지면서 에 한없이 가까워지는 것을 과 같이 나타내고, 가 보다 작은 값을 가지면서 에 한없이 가까워지는 것을 과 같이 나타낸다.
- 특히 은 으로, 은 으로 나타낸다.
- 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 를 일 때의 함수 의 우극한 또는 우극한값이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다.
- 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 를 일 때의 함수 의 좌극한 또는 좌극한값이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다.
- 일 때, 함수 의 극한값이 라는 것은 일 때의 우극한값과 좌극한값이 존재하고, 그 값이 모두 와 같음을 뜻한다. 즉,
- 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉 이면 극한값 는 존재하지 않는다.
일 때, 다음 성질 1~5가 성립한다. 단, , 는 실수
- (단, 는 상수)
-
-
-
- (단, , )
- 함수의 극한에 대한 성질은 일 때에도 성립함이 알려져 있다.
- 분수함수의 극한에서 는 실수 일 때,
- 특히, 분수함수의 극한에서 일 때,