미분과 적분/함수의 극한

함수의 극한

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  1. 함수  에 대하여   와 다른 값을 가지면서  에 한없이 가까워질 때, 함숫값  가 일정한 값  에 한없이 가까워지면 함수   에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로   또는  일 때,  와 같이 나타낸다. 이때   일 때의 함수  의 극한값 또는 극한이라고 한다.
  2. 특히 함수    는 상수 는 모든 실수  에 대하여 함수  에 대한  의 함숫값이 항상  이므로  의 값에 관계없이  이다.
  3. 함수  에 대한  의 함숫값  가 존재하면 함수   에서 정의되어 있다고 한다.
  4. 함수  에 대하여  일 때, 함숫값  가 한없이 커지면 함숫값  는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로   또는  일 때,  와 같이 나타낸다.
  5. 함수  에 대하여  일 때, 함숫값  가 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함숫값  는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로   또는  일 때,  와 같이 나타낸다.
  6. 함수  에 대하여  가 한없이 커질 때 함숫값  가 일정한 값  에 한없이 가까워지는 것을 기호로   또는  일 때,  와 같이 나타낸다.
  7. 함숫값  가 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.
 
 

우극한과 좌극한

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  1.   보다 큰 값을 가지면서  에 한없이 가까워지는 것을  과 같이 나타내고,   보다 작은 값을 가지면서  에 한없이 가까워지는 것을  과 같이 나타낸다.
  2. 특히   으로,   으로 나타낸다.
  3. 함수  에 대하여  일 때, 함숫값  가 일정한 값  에 한없이 가까워지면   일 때의 함수  의 우극한 또는 우극한값이라 하고, 이것을 기호로  와 같이 나타낸다.
  4. 함수  에 대하여  일 때, 함숫값  가 일정한 값  에 한없이 가까워지면   일 때의 함수  의 좌극한 또는 좌극한값이라 하고, 이것을 기호로  와 같이 나타낸다.
  5.  일 때, 함수  의 극한값이  라는 것은  일 때의 우극한값과 좌극한값이 존재하고, 그 값이 모두  와 같음을 뜻한다. 즉,  
  6. 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉  이면 극한값  는 존재하지 않는다.

함수의 극한에 대한 성질

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 일 때, 다음 성질 1~5가 성립한다.  단,  ,  는 실수 

  1.   (단,  는 상수)
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   (단,  ,  )
  • 함수의 극한에 대한 성질은  일 때에도 성립함이 알려져 있다.
  • 분수함수의 극한에서    는 실수 일 때,  
  • 특히, 분수함수의 극한에서    일 때,  

함수의 극한의 대소 관계

+/-

 에 가까운 모든 값  에 대하여 다음 대소 관계 1, 2가 성립한다.

  1.  이고,  이면  
  2.  이고,  이면