상대성 이론/일반 상대성 이론 II/해밀토니안(Hamiltonian) 해석/아인슈타인-힐버트(Hilbert) 작용

아인슈타인 이론의 작용 원리 (Action Principle of Einstein Theory)

힐버트-아인슈타인 작용 (Hilbert-Einstein Action)

다른 장이론과 마찬가지로 중력이론 또한 좌표를 인수(parameter)로 하는 메트릭 장 변수로 기술되는 장이론이므로 작용으로 이론을 기술할 수 있을 것이다. 여기서 기본 변수는 $g_{\mu \nu }(x^{\sigma })$가 되어야 하나, 그 역인 $g^{\mu \nu }$ 또한 온전히 자신 $g_{\mu \nu }$으로 기술되므로, 변분에 있어서 $\delta g_{\mu \nu }$와 $\delta g^{\mu \nu }$, 두 가지에 대항하는 항 모두가 같이 섞여나와도 상관없다.

우선은 힐버트-아인슈타인 항 $\int {\sqrt {|g|}}R$의 변분의 체적항이 아인슈타인 방정식이 됨을 보이려 한다. 이를 위해 우선 다음과 같은 작은 정리들을 증명하도록 하자.

• $\delta {\sqrt {|g|}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}$
• $\delta R_{\mu \nu }$는 체적항(bulk term)이 없고 경계항(boundary term)만 있다.

여기서 $\delta g^{\mu \nu }$는 $g^{\mu \nu }$의 변화로 다른 텐서와는 다르게 메트릭의 성질에 따라 $\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }g^{\nu \lambda }\delta g_{\sigma \lambda }$이므로 주의하도록 하자. 첫번째 소정리는 행렬의 성질 $\mathrm {det} \,M=\mathrm {exp} \,\mathrm {tr} \,\mathrm {log} \,M$을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

두번째 소정리를 보이기 위해서 첨자(index)를 풀어헤치면 다음과 같이 된다. $\delta R^{\sigma }{}_{\mu \sigma \nu }=\nabla _{\sigma }\delta \Gamma ^{\sigma }{}_{\nu \mu }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma ^{\sigma }{}_{\sigma \mu }={\frac {1}{2}}\nabla _{\sigma }\nabla _{\nu }(g^{\sigma \lambda }\delta g_{\lambda \mu })+{\frac {1}{2}}\nabla _{\sigma }\nabla _{\mu }(g^{\sigma \lambda }\delta g_{\lambda \nu })-{\frac {1}{2}}\nabla _{\sigma }\nabla ^{\sigma }\delta g_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }(g^{\sigma \lambda }\delta g_{\sigma \lambda })$
이러한 결과를 보기 위하여 다음과 같이 곡률 텐서 뿐 아니라 텐서가 아닌 연결(connection)의 경우도 변분을 취하면 텐서가 됨을 보일 필요가 있다.

• $\delta R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }=\nabla _{\gamma }\delta \Gamma ^{\alpha }{}_{\delta \beta }-\nabla _{\delta }\delta \Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }$
• $\delta \Gamma ^{\sigma }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \sigma }\left(\nabla _{\beta }\delta g_{\gamma \alpha }+\nabla _{\gamma }\delta g_{\alpha \beta }-\nabla _{\alpha }\delta g_{\beta \gamma }\right)$

이 작용은 국소 로렌츠변환에 대해서 명백히 불변이다. 광역 로렌츠대칭에 대해서는 경계면의 문제가 있으므로 말하기 어렵다. (경계면이 대칭을 가지고 있다면 보통 광역대칭이 국소대칭보다 약한 조건이다.)

기본스-호킹-요크 경계항 (Gibbons-Hawking-York Boundary Term)

보통 작용원리는 디리클레 경계조건에서 올바른 운동방정식을 주기를 요구한다.