선형대수학 입문/고유값과 고유벡터

모티브

대각화, 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)를 논의 하기 전에, 어떤 모티브가 있었는지 봅시다.

예시 (대각행렬의 거듭제곱 공식)

$D={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}$를 생각하자. $${\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3^{k}&0\\0&(-5)^{k}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3^{k+1}&0\\0&(-5)^{k+1}\end{pmatrix}},$$ 이므로, 각각의 양의 정수 $n$에 대해서 $D={\begin{pmatrix}3^{n}&0\\0&(-5)^{n}\end{pmatrix}}$이라는 대각행렬의 거듭제곱 공식을 귀납법으로 증명할 수 있다.

예시

$P={\begin{pmatrix}1&1\\2&3\\\end{pmatrix}}$, $D={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}$라고 하자. 여기서 $P^{-1}={\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\\\end{pmatrix}}$임을 계산할 수 있다.

행렬 $A$를 $A=PDP^{-1}={\begin{pmatrix}19&-8\\48&-21\\\end{pmatrix}}$라고 하자. 그러면 $${\begin{aligned}A^{n}&=(PDP^{-1})^{n}=\underbrace {(PD{\color {blue}P^{-1}})({\color {blue}P}DP^{-1})\cdots (PD{\color {brown}P^{-1}})({\color {brown}P}DP^{-1})} _{n\;PDP^{-1}{\text{'s}}}\\&=PD(\underbrace {\color {blue}P^{-1}P} _{\color {blue}I})DP^{-1}\cdots PD(\underbrace {\color {brown}P^{-1}P} _{\color {brown}I})DP^{-1}\\&=PD\underbrace {{\color {blue}I}D\cdots {\color {brown}I}D} _{n-1\;ID{\text{'s}}}P^{-1}\\&=P\underbrace {DD\cdots D} _{n\;D{\text{'s}}}P^{-1}\\&=PD^{n}P^{-1}\\&=P{\begin{pmatrix}3^{n}&0\\0&(-5)^{n}\end{pmatrix}}P^{-1}\qquad {\text{(위 의 예 시 )}}\\&={\begin{pmatrix}1&1\\2&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3^{n}&0\\0&(-5)^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}3^{n+1}-2(-5)^{n}&(-5)^{n}-3^{n}\\6(3^{n})-6(-5)^{n}&3(-5)^{n}-2(3^{n})\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

우리는 가역행렬 $P$와 대각행렬 $D$의 곱인 $PDP^{-1}$라는 조금 특수한 행렬에 대한 예시를 통해서 거듭제곱이 편리하게 계산될 수 있음을 보았습니다.

당연하게도, 이렇게 편한 도구가 주어졌으니, 주어진 행렬이 $PDP^{-1}$로 표현될 수 있는지, 그리고 그게 가능하다면 $P$와 $D$가 무엇인지 알고 싶을 것입니다.

이 챕터의 주요 목표가 바로 그것입니다.

고유값, 고유벡터 그리고 대각화

모티브에서의 관점으로 다음 정의를 얻을 수 있습니다.

정의 5.1 (대각화 가능 행렬)

정사각행렬 $A$는 가역행렬이 $P$가 존재하여 $P^{-1}AP$가 대각행렬이면 대각화 가능하다.

참고

동치인 조건은 모티브에서 보았던 꼴인 어떤 대각행렬 $D$와 가역행렬 $P$에 대해서 $A=PDP^{-1}$를 만족하는 것이다. 따라서 행렬이 대각화 가능하다면, 우리는 그 행렬의 거듭제곱도 편하게 계산할 수 있다.

예시

항등행렬 $I_{n}$는 $P=I_{n}$가 존재해 $P^{-1}I_{n}P$가 대각행렬($I_{n}$)이므로 대각화가능하다. 또, $P=I_{n},D=I_{n}$가 존재하여 $I_{n}=PDP^{-1}$를 이룬다.

틀:예제 다음 내용은 어느 부분에서는 대각가능성과 관련된 아주 중요하고 일반적인 개념입니다.

정의 5.2. (고유벡터와 고유값)

$A$를 정사각행렬이라고 하자. $0$이 아닌 벡터 $\mathbf {v}$에 대해서 어떤 스칼라 $\lambda$가 존재하여 $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$가 성립하면 $\mathbf {v}$를 $A$의 고유벡터라고 한다. 그리고 $\lambda$는 $\mathbf {v}$에 대응하는 $A$의 고유값이라고 한다.

참고

• $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$는 벡터 $\mathbf {v}$와 행렬 $A$의 곱이 벡터 $\mathbf {v}$와 스칼라의 곱과 같다는 것을 의미한다.(벡터 scaling)
• eigen-라는 접두어는 '특징적인', '소유의', '고유한'을 나타내는 독일어다.

예시 (항등행렬의 고유벡터)

각각의 벡터 $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$에 대해서 $$I_{n}\mathbf {v} =\mathbf {v} =1\cdot \mathbf {v}$$ 이므로, 각각의 벡터 $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$는 $I_{n}$의 고유벡터이고, 이것들에 대응되는 고유값은 모두 $1$이다.

틀:Colored exercise 다음 정리는 대각화 가능 행렬에 고유벡터와 고유값과 관련이 있다.

정리 (대각화)

$A$를 $n\times n$ 행렬이라 하자. 따라서 오로지 $A$가 has $n$ 개의 선형독립 고유벡터를 가지고 있을 때만 $A$는 대각화가능하다. $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$가 고유값 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$(고유값은 같을 수 있다.)에 대응되는 $A$의 선형독립 고유벡터이면, 우리는 각각의 열이 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$인 가역행렬 $P$와 대각성분이 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$인 대각행렬 $D$를 정의하여 $$A=PDP^{-1}$$ 얻을 수 있다.

증명:

이 증명에서, ${\begin{pmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}$를 각각의 열을 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$로 삼는 행렬으로 표기할 것이다. $${\begin{aligned}&&A&=PDP^{-1}\\&\Leftrightarrow &AP&=PD\underbrace {PP^{-1}} _{I}\\&\Leftrightarrow &A{\begin{pmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}\\&\Leftrightarrow &{\begin{pmatrix}A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}\\&\Leftrightarrow &A\mathbf {v} _{1}&=\lambda _{1}\mathbf {v} _{1},\ldots ,A\mathbf {v} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.\end{aligned}}$$ 우리는 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$가 고유벡터임을 증명했다. 이제 가역성과 선형독립 간의 관계의 명제에 의해 $P$가 가역행렬이려면 오로지 이 벡터들이 선형독립이어야 되기 때문에 벡터들이 선형독립임을 증명하는 것이 남아있다. 틀:증명끝

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