선형대수학 입문/벡터와 부분공간

벡터

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소개

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먼저, 행 벡터와 열 벡터를 구분하지 말고 벡터를 정의합시다:

정의 4.1. 벡터(실벡터)

 을 자연수라고 하자.(이전의 논의처럼 자연수는 0을 포함하지 않는다.) 벡터는 실수  -튜플(순서쌍)  이다. 모든 벡터들의 집합   차원 유클리드 공간이다,


참고

  • 차원에 대해서는 나중에 정의할 것이다.
  • 벡터를 표현할 때는 볼드체로 쓸 것이다.  와 같이 다르게 적을 수도 있다.
  •  은 특별히 영벡터를 표현하는데 쓸 것이다. 영벡터는 모든 성분이  인 벡터다.
  • 성분   의 좌표나 성분이라고 불린다.


표준기저벡터는 벡터의 특별한 경우다.

정의 (표준기저벡터)

  공간 안의 표준기저벡터   에 대하여  번째 성분만 1이고, 나머지 성분은 0인 벡터이다.


참고

  • 표준벡터라는 단어보다 표준기저라는 말이 더 자주 쓰인다.
  •   공간에서의 표준기저벡터는   이다. 그리고 각각   로 표현하는 일이 잦다.
  •   공간에서의 표준기저벡터는  ,  ,  이고, 각각 ,  ,  로 표현하기도 한다.


예시

  •  에서의  .
  •  에서의  .
  •  에서의  .

 에서의   에서의  가 다른 것을 확인할 수 있다.


위에서는 순서쌍을 통해 벡터를 정의했지만, 행렬은 행과 열로 나누어지기 때문에 선형대수학에서는 가끔씩 행 벡터와 열 벡터를 구분할 필요가 있습니다. 이들의 정의는 다음과 같습니다:

정의 4.2. (행 벡터와 열 벡터)

행 벡터는  인 행렬이고, 열 벡터는  인 행렬이다.


참고

  • 행 벡터보다 열 벡터를 좀 더 선호한다.
  • 이렇게 정의하기 때문에 벡터 연산에 대응되는 행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈을 적용시킬 수 있다.


예시

 은 행 벡터이고,  은 열 벡터다.


참고

  • 가로쓰기에서 열 벡터를 예시처럼 쓰는 건 공간 낭비이므로  로 열 벡터를 표현하기도 한다.
  • 좀 더 아끼기 위해서 성분 간에 공백을 두지 않고, 순서쌍으로 표현해  로 쓰는게 더 일반적이다.
  • 반면에 열과 행을 구분하지 않는 벡터와 쓰는게 겹치는 것을 피하기 위해서 이 책에서는 행 벡터를  로 쓰지 않을 것이다.


덧셈과 스칼라 곱셉은 벡터연산의 기본적인 두 가지 연산입니다. 두 개의 연산만을 사용해서 다음의 정의를 따라 우리는 수많은 벡터를 조합할 수 있습니다.

정의 4.3. (선형결합)

벡터  에 대해  라고 하자. 어떤 스칼라(실벡터에서는 실수)  에 대해서 벡터    이면  의 선형결합이다.


예시

벡터    의 선형결합이지만, 벡터  는 선형결합이 될 수 없다.

증명:

 이고, 이 선형 연립방정식을 첨가행렬로 바꿀 수 있으므로:   따라서 유일한 해가  임을 알 수 있다. 그러므로,    의 선형결합으로 표현할 수 있다.

반면에  이고, 이를 첨가행렬로 표현하면:  이다. 마지막 열인 3열에 선행성분이 존재하므로, 이 식은 일관적이지 않다.(모순적이다.) 따라서    의 선형결합으로 나타낼 수 없다.


틀:예제

선형결합과 밀접하게 연관되어 있는 또다른 개념으로 span이 있습니다. [1]

 
 에 속하는 두 벡터   의 span은 그림의 바둑판 평면입니다.

정의 4.4. (Span)

 를 영집합이 아닌  의 부분집합이라고 하자.  로 표현하는  의 span은  의 모든 선형결합의 집합이다.


참고

  • 이는  가 무한히 많은 벡터들을 품고 있다는 것을 말한다. 몇몇 벡터만으로도 만들 수 있는 선형결합은 무한하게 많기 때문이다.
  • 이는   안에 있는 벡터는  에 속한 벡터를 사용하여 만들 수 있다는 것을 의미한다.
  • 벡터(들)의 span 대신에 어떤 벡터(들)을 포함하는 집합의 span을 쓸 수 있다.


예시

집합   span은  로 나타난다.   and  의 선형결합은   꼴로 나타나기 때문이다.

기하학적으로 이 span은   공간 속의 평면이다.

집합  의 span은  이다. 마찬가지로  의 선형결합을 나타내면  꼴로 나타나기 때문이다. 기하학적으로 이 span은   공간 속의 선이다.


틀:예제

선형독립

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  공간 속 선형독립인 3개의 벡터들
 
  공간 속 선형종속인 3개의 벡터들

정의 4.5. (선형독립, 선형종속)

  의 부분집합이라고 하자.  을 만족하는  이 아닌 스칼라  가 존재하면 집합  은 선형종속이다. 그렇지 않으면 집합  는 선형독립이다.


참고

  • (용어) 그 벡터들을 가지고 있는 집합은 선형독립 혹은 선형종속이라는 표현 대신에 벡터  가 선형독립처럼 쓸 수도 있다.
  • 벡터들이 선형독립이면 식에서  가 모두  인 경우 식이 성립한다.
  • 동등하게, 벡터들이 선형독립이면 ' 이기 위한 유일한 해는  이다.'라는 결론을 얻는다.
  • 이것이 좀 더 흔하게 쓰이는 선형 독립을 쓰는 방법이다.


이제, 우리는 선형종속의 직관적인 결과에 대해서 말할 수 있을 것 같습니다. 왜 '선형종속' 같은 말을 쓰는지를 잘 설명해주는 결과에 대해서 말이죠.

명제 (선형종속인 것과 동등한 조건)

벡터  는 선형종속이라는 것과 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것은 동치다.


증명

  • 선형종속이면 선형결합으로 한 벡터를 표현할 수 있다:
  • 일반적인 경우를 유지하기 위해   를 가정하자.( 을 다른 스칼라로 바꿔도, 결과는 여전히 대칭성을 유지한다.)
  • 그러면,  , 즉,  는 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
  • 선형결합으로 한 벡터를 표현할 수 있다면 선형종속이다:
  • 일반적인 경우를 유지하기 위해,  를 가정하자.( 를 다른 벡터로 바꿔도, 결과는 여전히 대칭성을 유지한다.)
  • 그러면,  이다.
  •   이 아니므로,  는 선형종속이다.


참고

  • 이것이 모든 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것이 아니다.
  • 벡터들이 '선형종속'이라는 것은, 직관적으로 선형적인 의미와 관련이 있다고 생각할 수 있는데, 한 벡터가 다른 벡터들에 의존(선형결합)할 수 있기 때문에 이는 사실이다. 즉, 다른 벡터들과의 관계가 존재한다는 것이다.


예시

벡터  들은 선형종속이다.

증명:

  • 방정식  을 생각해보자.
  • 계수행렬의 행렬식은

 

이므로 계수행렬은 비가역적이다.
  • 따라서, 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해 homogeneous한 선형 연립방정식은 비자명한 해를 가진다. 즉, 방정식을 만족하는 모든 성분이  은 아닌 스칼라 집합  가 존재한다.


이제, 선형독립인 벡터들의 명제를 소개하겠습니다.

명제 (선형독립인 벡터들의 계수 비교)

 를 선형독립인 벡터들이라고 하자. 만약  이면,  이다.


증명

  벡터들의 선형독립성에 의해,   이다.


예시 (비교를 통한 미지수 찾기)

벡터  가 선형독립이고,  라고 하자. 그러면 계수 비교를 통해 우리는  를 얻는다.


예시

세 선형종속 벡터  를 생각하자.  라고 해도,  가 아닐 수도 있다. 아래와 같은 예를 생각해볼 수 있다.  


틀:예제

이제 선형독립과 선형 연립방정식에 관련된 두 개의 결과를 논할 것입니다.

명제 (선형독립과 가역성 사이의 관계)

   (벡터의 수가 반드시  여야지, 행렬이 정사각행렬을 갖는다.) 공간 속의 벡터 집합이라고 하자. Let  를 각각의 열이  인 정사각행렬이라고 하자. 그러면,   가 가역적일 때만 선형독립이다.


증명

S 와, homogeneous한 선형 연립방정식   을 놓자. 선형독립의 정의에 의해  는 선형독립이고, 이는 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해  가 오로지 자명한 해를 가지는 것과 동치이며, 이는 또  가 가역적임과 동치이다.


참고

이 명제는 벡터 각각의 성분의 수와 벡터의 수를 짝지어보는 방법으로 선형독립 혹은 선형종속을 판단하는 편리한 방법을 준다.


예시

집합  은 선형독립이다.  이기 때문이다.


명제 (선형독립과 선형 연립방정식의 해의 개수의 관계)

 를 선형 연립방정식이라 하자.( 는 정사각행렬이 아닐 수도 있고,   이 아닐 수도 있다.) If the 틀:Colored em of  의 열들이 선형독립이면, 선형 연립방정식은 많아봤자 1개의 해가 존재한다.


증명

  의 열이라고 하고,  라고 하자.

그러면,  이다. 선형 연립방정식에 서로 다른 두 개의 해   가 있다고 가정하자. 즉,  이다. 하지만, 선형독립 벡터들의 계수를 비교한 명제에 의해서,  이고, 이는 두 개의 해가 다르다고 하는 가정에 모순된다.


참고

  •  의 열이 선형독립이면  가 오로지 하나의 자명한 해를 가져  가 가역적이고, 이전의 명제와 일치하는 것은 특별한 경우다.
  • 선형 연립방정식은 많아도 하나의 해를 갖고 이는 선형 연립방정식의 해가 없거나 유일한 해를 가지고 있다는 것과 똑같은 소리다.


예시

집합  은 서로가 서로를 선형결합으로 만들어내지 못하므로 선형독립이다. 따라서 선형 연립방정식   은 각각의  에 대해 많아도 한 개의 해를 갖는다. 예를 들어, 선형 연립방정식   는 이 선형 연립방정식의 첨가 행렬   을 생각해 볼 때 해가 존재하지 않는다.   와 첨가행렬은 가역적이므로, 그것의 RREF는 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해서  이다. 따라서,  의 3열에 선행성분이 존재하므로, 선형 연립방정식은 모순적이다.


틀:예제

부분공간

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이제 부분공간에 대해서 논해봅시다. 간단하게 말해서 부분공간이란 좋은 성질을 가지고 있는  의 어떤 부분집합입니다. 좀 더 엄밀하게 하기 위해 다음과 같이 정의합시다.

정의 4. 6. (부분공간)

 의 부분집합  은 아래의 조건을 따르면  의 부분공간이다.

  1.  
  2. (덧셈 연산에 대해 닫힘) 각각의  에 대하여,  
  3. (스칼라 곱샘에 대해 닫힘) 각각의  와 스칼라  에 대하여,  


참고

  •  는 더 큰 벡터공간의 부분집합인 벡터공간의 한 종류이므로 벡터공간이다.
  • 벡터공간의 정의는 좀 더 많은 조건이 필요하고 좀 더 복잡하다. 그래서 여기서는 다루지 않을 것이다.
  • 부분공간에서 이 조건들이 충족이 되면 벡터공간의 다른 조건들이 자동적으로 충족된다.
  •  가 영집합이 아니면 첫번째 조건은 알아서 만족한다.
  • 하지만  가 영집합인지 아닌지 모르기 때문에, 첫번째 조건을 만족하는지를 간단하게 확인하는 것이 편하다.
  • 이는 각각의  에 대하여 스칼라 곱셈에 닫혀있어,  이기 때문이다. 그리고 덧셈에 닫혀있으므로  이다.


예시 (Zero space)

오로지 영벡터 하나만을 가지고 있는 집합   의 부분공간이며 zero space라고 부른다.

증명:

  •  
  •  
  • 각각의 스칼라  에 대하여  .

따라서  는 벡터공간


예시

집합  의 span은 의 부분공간이다.

증명

 라고 하자.

  •   의 선형결합에 대해서  이므로  .
  •  이고, 그 이유는:
  •  ,  라고 하자. 그러면  .
  •  이고, 그 이유는:
  •  라고 하자. 그러면  .



이 예시를 통해서 성분 그 자체는 사실 중요하지 않다는 것을 볼 수 있습니다. 게다가 다음과 같은 일반적인 결론까지 내릴 수 있습니다:

명제

모든 유한집합  에 대해서,  은 부분공간이다.


증명

증명의 아이디어는 위의 예시에 나와있다:

  • 영벡터는   안의 벡터들의 선형결합이므로  
  •    안의 벡터들의 선형결합이므로  
  •    안의 벡터들의 선형결합이므로  


틀:예제

특히, 어떤 span은 특별한 이름을 가지고 있습니다:

정의 4. 7. (행, 열, 영 공간)

 를 행렬이라 하자.  의 행(열)공간  의 행(열)의 span이고,   ( )로 표기한다.  의 영공간(혹은 핵(커널, kernel)) homogeneous한 선형 연립방정식  의 해 집합이고,   (또는 커널의 ker에서 딴  )라고 표현한다.


참고

  • 유한집합의 span이 부분공간이 되는 명제로부터 행과 열 공간은 부분공간임을 알 수 있다.
  • 행과 열 공간은 각기 다른 유클리드 공간에 있을 수도 있다.
  • 예를 들어   행렬  에 대해,  이고,  이다.


예시

영공간은 부분공간이다.

증명

homogeneous한 선형 연립방정식  을 생각하자.   의 해 집합이라고 하자. 즉,  이다.

  •  이므로  
  •  . 이유:
  •  이므로  
  •  이므로  
  •  . 이유:
  •  이므로  
  •  이므로  .



예시

행렬  를 생각하자.

  •  
  •  
  •   (여러 가능성 중 하나)
  •  의 해 집합은  이기 때문.


예시

집합   의 부분집합이다.

증명:

 , 따라서 집합은   행렬  의 영공간이고, 이는 부분공간이다.

기하학적으로 이 집합은  의 원점을 지나는 평면이다.


틀:예제

이제 좀더 용어적으로 부분공간에 연관된 개념을 알아봅시다.

정의 4. 8. (생성집합)

 를 부분공간이라고 하고   의 부분집합이라고 하자. 집합   이면  의 생성집합(generating set, 혹은 spanning 집합)이다.

이 경우,   를 만든다(혹은 span한다)고 말할 수 있을 것이다.


정의 4. 9. (기저)

Let  를 부분공간이라 하자.  의 기저(basis)는  의 선형 독립인 생성집합이다.


참고

  • 기저는 중요한 개념이다. 기저는 최소한의 벡터를 통해  의 전체구조를 말해주기 때문이다.( 의 생성집합은  의 전체구조를 말해줄 수 있다.)
  • 생성집합 속에서 선형독립은 '쓸모없는' 벡터가 없다는 것을 보장해준다.('쓸모없는' 벡터는 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있어서 쓸모없는 벡터가 있으면 선형독립을 유지할 수 없다.)
  • 선형종속 생성집합이 주어졌을 때, 몇몇 벡터를 없애는 것으로 선형독립을 만들 수 있다.(이는 축소 정리로 알려져있다. 이에 대해서는 나중에 논의할 것이다.)
  • 기저(basis)의 이니셜이 b이므로 우리의 논의에서  (베타)를 기저를 표현하는데 쓸 것이다.
  • 일반적으로 기저는 유일하지 않다.


아래의 정리는 기저의 중요성의 정수를 보여줍니다.

정리

  의 부분공간이라고 하고   의 부분집합이라 하자. 그러면, 오직   의 기저일 때만   안의 각각의 벡터는 유일한 방법으로   안의 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있다.


증명

  •  :
  •  는 생성집합이고, 따라서   안의 각각의 벡터들은  를 따른다, 즉,   안의 각각의 벡터는   안의 벡터들의 선형결합이다.
  • 선형결합의 유일성은 선형독립벡터에 대한 계수 비교에 관한 명제를 따른다.
  •  :
  •   를 생성한다:
  1. 부분공간의 정의에 의해   (  (  안의 벡터들은  이므로   안의 벡터들이기도 하다.) 안의 벡터들의 선형결합은  를 따르기 때문)
  2. 한편,  안의 벡터는  안의 벡터의 선형결합으로 표현될 수도 있으므로  이다.
  3. 따라서,  이고, 정의에 의해   를 생성한다.
  •  는 선형독립이다:
  •   안의 벡터라고 하자, 그리고
  • 모두가  인 것은 아닌  에 대해  라고 가정하자.(즉,  은 선형종속이다.) 따라서  의 영벡터는 다음 두 가지 방법으로 표현할 수 있다:

 

이는 선형결합 표현의 유일성에 모순된다.


예시 (표준기저)

 ,  ,  로 정의된 벡터에 대해서   의 기저를 이루고, 특별히 표준기저라고 말한다.

증명

 를 생각하자.

  •  는 아래를 이유로  을 생성한다.

 

  •  는 아래를 이유로 선형독립이다.

 



예시

 은 집합   의 기저이다.

증명

 의 일반해는   이고 여기서   는 각각 독립적인 매개변수  ,  로 놓았다. 일반해는  ,  ,  의 선형독립이므로  를 생성한다.

더불어  는 다음의 이유로 선형독립이다.  


각각의 공간에는 무수히 많은 다른 기저가 존재합니다. 이 기저들에  이 아닌 임의의 스칼라만 곱해도 알 수 있습니다.


틀:예제

이제, 기저를 구성하는 몇 가지 방법에 대해 논해봅시다.

정리 (확장정리와 축소정리)

  의 부분공간이라 하자. 그러면 다음을 따른다.

  • (확장정리)  의 모든 선형독립 부분집합은  에서의 기저로 확장될 수 있다.
  • (축소정리) 모든  의 유한한 생성집합은  에서의 기저로 이루어져 있다.


참고

관습적으로, zero space  의 기저는 공집합  이다. 이 공간의 기저는 유일하다.


이것의 증명은 복잡합니다.

따름정리( 의 부분공간에 대한 기저의 존재성)

 의 각각의 부분공간은 기저를 가진다.


증명

공집합  부터 시작하자. 공집합은 선형독입이다.(정의에 의해 선형종속이 될 수 없다.), 그리고 모든 집합의 부분집합이기도 하다. 확장정리에 의해, 이것은  의 부분공간의 기저로 확장될 수 있다. 따라서,  의 각각의 부분공간은 기저를 가지고, 위의 방법으로 찾을 수 있다.


예시 (축소 정리의 활용)

부분공간  의 기저는  이다.

증명

다음을 따라  의 생성집합은  임을 알고있다.   축소정리에 의해  는 반드시 기저를 포함한다. 우리는  임을 알 수 있다.(보이지 않는다면 선형독립(종속)의 정의 속 방정식을 사용해 얻을 수 있을 것이다.) 따라서   안의 벡터들을  로 생성할 수 있다. 그러므로,  는 더 작은 생성집합이다.  이고 이 선형 연립방정식을 표현한 첨가행렬의 RREF는  이기 때문에, 이 선형 연립방정식의 유일한 해는  , 즉  는 선형독립이다. 이는  가 기저라는 사실을 따른다.



틀:예제

기저와 차원은 서로 관련되어 있습니다.

정의 4. 10. (차원)

  의 부분공간  의 기저라고 하자.  에 있는 벡터의 개수는  의 차원으로  라고 쓴다.


참고

  • 관습에 의해, zero space  의 차원은  이다.
  • 이는 공집합  의 벡터의 개수는  임을 말한다.
  • 부분공간이 더 높은 차원을 가질 때 이 공간은 더 많은 '유연성'을 가진다. 바꿀 수 있는 변수가 더 존재하기 때문이다.


부분공간에서 무수하게 많은 기저가 있다는 것을 상기합시다. 감사하게도 모든 기저들은 같은 개수의 벡터가 존재하고, 부분공간의 차원 역시도 유일합니다. 직관적으로 예상한 것처럼 말이죠. 이는 다음 정리를 따라 보장됩니다.

정리 (차원의 유일성) 임의의 부분공간의 차원은 유일하다. 즉,  의 부분공간  에 대한 두 개의 유한한 기저   를 놓으면,   의 벡터의 개수는 동일하다.


증명

  를 생각하자. 그리고   를 각각   을 열로 생각하는 행렬이라 하자.

기저의 정의에 의해  이고,  이다. 따라서  에 대해서   . 대칭성을 따라  이다. 따라서 열이    행렬  에 대해,  이다.

우리는  은 자명한 해만을 가진다는 주장(claim[2])을 할 수 있고, 이는 사실이다. 왜냐하면:

  •  이면, 선형독립과 선형 연립방정식의 해의 개수의 관계에 대한 명제로  의 열들이 선형독립이기 때문에  이고, 따라서 이다.

따라서  의 RREF(  열을 가짐)는 마지막 열을 제외한 모든 열에 선행성분을 가진다. Since there are rows in 첨가행렬  의 행은  행이기 때문에,   (만약  이면, 많아봤자   개의 선행성분이 있기 때문에  개의 선행성분을 가질 수 없다.)

대칭성에 의해 (  의 자리를 바꿔보자),  이고 따라서  이다.


예시 (유클리드 공간의 차원)

 의 차원은  이다.  의 표준기저    개의 벡터를 가지고 있기 때문이다.


예시 (평면의 차원)

부분공간  의 차원은  다. (앞선 예시에서) 는 이 부분공간의 기저이고,  개의 벡터를 갖는다. 기하학적으로 이 부분공간은 평면이다. 그리고 일반적으로 모든 평면은  차원이다.


틀:예제

이제 행, 열, 영공간의 기저와 차원에 대해 논해봅시다.

명제 (행공간의 차원)

 를 행렬이라 하고   의 RREF라고 하자. 그러면, the set of all nonzero rows of   이 아닌 모든 행의 집합은  의 기저다.


증명

행공간은 기본행연산에 대해 불변이라는 사실을 이용하자. 예를 들어,

  • (치환)  
  • (스칼라 곱셈)  
  • (덧셈)  

이것을 사실이라 가정하면  이다.   이 아닌 행이  를 생성한다는 것은 증명할 수 있고, 이들은 선형적으로 독립이므로,  이 아닌 행을  의 기저로 선택할 수 있다.


참고

 의 다른 기저는   이 아닌 행에 대응하는  의 모든 행의 집합이다. (즉,   이 아닌 집합의 위치에 놓여있는 행의 집합) 이는 행공간을 생성하기도 하면서 선형독립이기 때문이다.


예시

 를 생각하자. 이것의 RREF가  임은 증명할 수 있고, 그러므로   ( 가 선형독립임도 증명할 수 있다.)는  의 기저이고, 이것은  차원이다.

또다른 기저는  이고, RREF에서의  이 아닌 행에 대응되는 행이다.


명제 (열공간의 기저)

 를 열이  인 행렬이라 하고,   의 RREF라고 하자. 열들   에서의 선행성분을 포함하는 열만을 말한다고 하자.(선행성분이 존재하는 열들의 index이다.) 그러면   의 기저이다.


증명

가우스-요르단 소거법을 사용해서,   로 바꿀 수 있다.(기본 행연산) 그리고 이것들의 행은 동일하다. 따라서   은 똑같은 해 집합을 갖는다. 그러므로  의 열의 선형독립(종속)성은  의 열의 선형독립(종속)성에 대응된다는 것을 증명할 수 있다. 이는  가 선형독립임과 다른 모든 열이 이 집합의 span에 속한다는 것을 알려준다.


예시

 이라 하자. 이전 예시에서,  의 RREF는  이었다. 따라서 선행성분이 존재하는  의 열, 1열과 2열에 대응하는  의 열들이 기저이다. 그러므로   의 기저이다.

 를 각각  의 첫번째, 두번째, 세번째 열이라고 하면,  이다. 이 표기를  의 열에 대신 넣는다고 하면, 같은 방정식이 성립한다.


예시 (영공간의 기저)

 를 생각하자. 이전의 예시를 따라서,  의 RREF는  이다.   의 기저이고, 그 이유는  의 해 집합이  이기 때문이고, 차원은  이다.


틀:예제

명제 (영공간의 차원)

 를 행렬이라 하고,  의 차원은  의 해 집합 안의 독립 미지수의 개수다.


증명

위의 예시에서 증명의 아이디어를 얻자:  라고 하는 독립 미지수가 해 집합 안에 있다고 하면, 해 집합을 생성하기 위해선 적어도   개의 벡터들이 집합 안에 구성되어야 한다.


행공간, 열공간, 영공간의 차원에는 다음과 같은 특별한 이름이 붙습니다:

정의 4. 11. (행 랭크, 열 랭크, nullity)

 를 행렬이라고 하자.  ,  ,  의 차원은 각각  의 행 랭크(row rank), 열 랭크(column rank), nullity라 부른다. 이것을 각각  ,  ,  라고 표현한다.


이에 더해 같은 행렬의 행 랭크와 열 랭크는 같습니다.

명제

각각의 행렬  에 대하여,   의 RREF의 선행성분의 개수다.


증명

열공간(  열벡터가 있으면, 가정에 의해  는 선행성분의 개수이다.)과 행공간( 이 아닌 행의 수는  의 RREF의 선행성분의 개수이다.)에서의 기저에 대한 명제를 통해 얻은 기저에서 볼 수 있다.


이러한 명제 덕분에, 우리는 다음을 정의할 수 있습니다.

정의 4. 12. (랭크)

 를 행렬이라 하자.  의 랭크는  라고 표기하고,  의 행 랭크와 열 랭크의 값과 같다.


참고

우리는 보통 행 랭크나 열 랭크 같은 표현은 내다던지고 이 용어를 사용한다.


이제, 랭크와 nullity에 관련한 중요한 정리를 소개하겠습니다.

정리 (차원정리)

   행렬이라 하자. 그러면  


증명

  의 RREF라고 하자.   의 선행성분의 개수이고, and   에서  의 선행성분을 뺀,  의 독립 미지수의 개수이다. □


예시

 를 또 생각하자. 또 전의 예시들과 같이,

  •   의 기저이고,
  •   의 기저이고,
  •   의 기저이다.

따라서  이고  이다.  의 열의 개수는  개이므로, 이것은 차원정리를 잘 따른다.


틀:예제

  1. Homogeneous와 마찬가지로 적절한 번역 단어가 없는 상태입니다.
  2. 수학과 수업 혹은 수학적인 형식을 좋아하는 사람의 수업을 들으면 자주 마주치는 단어입니다. 저도 알고 싶지 않았어요.