선형대수학 입문/역행렬과 행렬식

역행렬

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역행렬은 연립방정식의 역원과 비슷한 역할을 합니다.

정의 3.1. (역행렬)

  행렬  은 다음이 성립하는   행렬  가 존재하면 가역행렬이다.(혹은 특이 값이 없다.)   행렬  는 행렬  의 역행렬이라고 하고, 보통  이라고 쓴다. 역행렬이 존재하지 않은 행렬은 비가역적이라고 한다.(혹은 특이 값을 갖는다.)


참고

  • 가역행렬 정리에 따르면(이것의 완전한 정리들의 증명들은 복잡하므로 스킵한다.) 행렬 하나가   를 가지고 있으면 그 반대쪽 행렬도 똑같이 성립한다.


연립 방정식에서 곱셈의 역은 존재하기만 한다면 유일합니다. 마찬가지롤, 역행렬이 존재하면 유일합니다.

명제 (역행렬의 유일성)

역행렬이 존재하면 유일하다.


증명

행렬  의 역행렬이 각기 다른 행렬   이라고 가정하자.(귀류법) 역행렬의 정의에 따라  이다.  의 역행렬이 존재한다면 우리는   를 얻을 수 있고, 이는 모순이다.


예시 (가역행렬)

행렬   은 가역적이고, 이것의 역행렬은   이다. 왜냐하면   이기 때문이다.(가역행렬의 정리에 따라 다른 순서의 행렬곱도 역시  임을 내포한다.)

틀:예제


예시 (비가역행렬)

행렬   은 비가역적이다.

증명

저 행렬이 가역적이라고 가정하자.(귀류법)   과 같은 행렬이 존재하여   가 성립한다고 하자. 하지만 이 등식은 아래와 동치다.   이는 가능하지 않으므로, 모순이다.



틀:예제

명제(역행렬의 성질)

  가 같은 크기의 행렬이라고 하고   이 아닌 스칼라라고 하자.   는 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • (자기가역성)  는 가역적이고  이다.
  • (스칼라 곱셈)  는 가역적이고  이다.
  • ('역곱셈')  는 가역적이고  이다.
  • (전치와 역행렬의 치환가능성)   is invertible  


증명

  • (자기가역성)  는 가역적이므로,  , 따라서  는 가역적이고 그 역행렬은  이다.
  • (스칼라 곱셈)  , 증명 끝.
  • ('역곱셈')  , 증명 끝.
  • (전치와 역행렬의 치환가능성)  , 증명 끝.


참고

  • 귀납적으로 다음과 같은 일반화된 '역곱셈'을 얻을 수 있다:  가 가역적이면

 


역행렬은 다음과 같이 선형 연립방정식을 푸는데도 사용할 수 있습니다:

명제

가역행렬  가 있는  를 선형 연립방정식을 생각하자. 이 선형 연립방정식은  에 의해 유일한 해를 갖는다.


증명

 


따라서 기본 행연산과 밀접한 관계가 있는, 그리고 기본 행연산과 관련된 결과의 증명에서 중요한 기본행렬을 정의할 수 있습니다.

정의 3.2. (기본행렬)

 을 자연수라고 하자. 그러면 세 가지 종류의   기본행렬이 존재한다. 기본행렬은 항등행렬  에서 정의 2.4.에서 정의한 기본 행연산의 연산을 하여 각각의 기본행렬을 얻을 수 있다.


참고

  • 항등행렬  에서 행렬을 만들 때 두 개나 그 이상의 기본 행연산이 필요하다면 기본 행렬이 아니다.


예시

행렬   에 기본 행연산  을 적용하여 만들 수 있으므로 치환을 적용한 기본행렬이다.

행렬   에 기본 행연산  을 적용하여 만들 수 있으므로 스칼라 곱셈을 적용한 기본행렬이다.

행렬   에 기본 행연산  적용하여 만들 수 있으므로 덧셈을 적용한 기본행렬이다.

행렬    같이 적어도 두 개의 기본 행연산을 필요로 하므로 이 경우에는 기본연산이 아니다.


틀:예제

명제

크기가  인 행렬  을 생각하자.   에 기본 행연산 한 번으로 만들어지면,  를 만족하는 크기가  인 기본행렬  가 존재하여,   역시도  에 같은 기본 행연산을 연산하여 얻을 수 있다.

반대로,   인 기본행렬이면,   에 상응하는 기본 행연산을 실행하여 만들 수 있다.


증명

설명:  의 예시:

  • 치환 기본 행연산: 
  • 스칼라 곱셈 기본 행연산:

 

  • 덧셈 기본 행연산:

 


참고

  • 명제의 시각화:

 

  • 귀납적으로 다음을 생각할 수 있다:

 


예시

다음 기본 행연산   에 대응하는 행렬곱   을 만들 수 있다.


명제 (기본행렬의 가역성)

기본행렬은 가역적이다. 기본행렬의 역행렬은 같은 종류의 연산의 기본행렬이다.


증명

각각의 기본 행연산의 역과정은 같은 종류의 기본 행연산이다.   는 서로 역과정에 있는 두 기본 행연산에 대응하는 기본행렬이라고 하자. 이는 같은 종류이다. 따라서,  이고, 증명은 끝났다.(  에 어떤 기본 행 연산과 그것의 역과정을 연산하면 얻을 수 있기 때문이다.)


참고

  •   의 RREF(기약행사다리꼴행렬)이면, 어떤 기본행렬  에 대해  .
  • 기본행렬은 가역적이므로,  는 가역적이고, 그것의 역행렬은  이다.
  • 다시 말해서, 어떤 가역행렬  에 대해서  이다.


예시

 ,  ,  의 역과정들은 각각  ,  ,  이므로 기본행렬  ,  ,  의 역행렬은 각각  ,  ,   이다.

특히, 치환 기본행렬의 역행렬은 자기 자신이다.


틀:예제

따라서 우리는 가역행렬의 기본정리 중 복잡한 정리들은 빼버린 간단한 버전을 말할 수 있습니다.

정리 (간략화한 가역행렬의 기본정리)

   행렬이라고 하자. 그러면 아래 명제들은 동치이다.

(i)  는 가역행렬이다.

(ii) homogeneous한 선형 연립방정식  은 오직 자명한 해  만을 갖는다.

(iii)  의 RREF는  이다.

(iv)  는 기본행렬들의 곱이다.


증명

증명을 위해 순환 함의(내포)를 만들어보려 한다. 예를 들어 (i)   (ii)   (iii)   (iv)   (i)처럼 만드는 것이다. 그리고 이 네 가지 중 두 명제를 아무렇게나 고르면, 그 두 명제는 서로 동치일 것이고, 따라서 이는 네 명제가 동치한다는 것을 의미한다.

(i)   (ii): 이것은 선형 연립방정식을 푸는 것에 대한 명제(정의 3.2.의 위)를 통해 참임을 알 수 있다. 그리고  이다.

(ii)   (iii): 선형 연립방정식이 유일한 해를 갖기 때문에 선형 연립방정식 첨가행렬  의 RREF는  인 선행성분이 1열부터  열까지에만 있고,  열에서는 그렇지 않다. 즉  이다. 임의의 기본 행연산들을 연산한 후에도 가장 오른쪽에 있는 열은 여전히 0이므로  의 RREF는  이다.

(iii)   (iv):  의 RREF는  이므로,   기본행렬  에 대하여  의 RREF는  와 같고,  , 이는  임을 의미한다. 역행렬의 정의와 일반적인 '역 곱셈'에 의하여 우리는   를 얻을 수 있다: 즉  는 기본행렬들의 곱이다.

(iv)   (i):  는 기본행렬들의 곱인 기본행렬이고, 기본행렬은 가역행렬이므로, 이는  가 역행렬의 일반적인 '역곱셈'에 의해 가역적이라는 것을 의미한다.


참고

  • 이 정리는 행렬의 가역성을 증명하는 여러 방법을 제공한다: 동치인 하나의 명제를 증명함으로써 증명할 수 있다.
  • 이는 아마 증명하기 쉬울 것이다.
  • 그리고, 동치인 명제의 우리가 어떤 결과에 대해서 논의할 때, 그것들은 이 정리와 엮일 수 있다.


예시

행렬  을 생각하자. 가우스-요르단 소거법으로 RREF를 찾으면:   . 주어진 행렬의  이므로, 간략화된 가역행렬의 기본정리에 따라 우리는 다음과 같은 결과를 낼 수 있다:

(i)  는 가역행렬이다.

(ii) homogeneous 선형 연립방정식  은 오직 자명한 해  를 갖는다.

(iii)  는 기본행렬들의 곱이다.


이를 하나하나 확인해보자.

(i):  

(ii): 선형 연립방정식은 첨가행렬  로 표현할 수 있고, 가우스-요르단 소거법으로 주어진 행렬의 RREF를 얻을 수 있다:  

따라서, 우리는 첨가행렬의 RREF를 통해 직접적으로 선형 연립방정식이 오직 하나의 자명한 해를 얻는다는 것을 볼 수 있다.

(iii):  


틀:예제

아래 정리로 역행렬을 찾는 간편적이고 효율적인 방법을 얻을 수 있습니다.

정리 (가우스-요르단 소거법을 사용한 역행렬 찾기)

 를 크기가  인 가역행렬이라고 하자. 그러면 (첨가)행렬  를 유한한 기본행연산을 사용하여  의 RREF인 (첨가)행렬   ( 의 크기는  와 같다.)을 만들 수 있다. 그리고  이다.


증명

설명: 우리는   의 RREF라는 사실을 이용하여  에 대하여  라고 쓸 수 있다. 따라서  은 증명가능하고  이다. 이는   를 따른다. 따라서  이다.


참고

  • if  가 가역적이지 않으면,  를 to  로 바꿀 수 없다.(그래도  의 RREF는 여전히 존재하고,  의 형태가 아닐 뿐이다.)


예시

 를 상정하자. 몇몇 기본 행연산을 거치면:   우리는  임을 알 수 있다.

이미 앞서  가 비가역적이라는 것을 증명했다. 이제    로 전환하는 것이 불가능함을 보이자. 기본 행연산들로 연산하면:   마지막 행렬은 RREF다. 우리는 첫번째 기본 행 연산을 통해  의 성분을 0으로 만드는 것을 봤고,   또 성분또한 0으로 만들었다. 따라서 이것은 어떤 변환으로든 만드는 것이 불가능하다.


틀:예제

행렬식

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이제 우리는 정사각행렬의 몇몇 성질을 바꾼 것을 더한 행렬식에 대해서 논할 수 있습니다.

정의 3. 3. (행렬식)

   행렬이라고 하자.  의 행렬식은   와 같이 쓰고, 이것은 재귀적으로 다음과 같이 정의한다:

  •  일 때 행렬식은  로 정의한다.
  •  일 때, 각각의   행렬에 대한 행렬식을 정의를 이미 내렸다고 가정하자.   에서  행과  열을 뺀   (부분)행렬이라 하자. 그리고 이에 대한 여인수  를 정의하자. 그러면 행렬식은

 

와 같이 정의한다.


참고

  • 소행렬은 부분(정사각)행렬의 행렬식이다.
  • 모든 여인수로 구성된 행렬  은 여인수행렬이라고 부른다.
  •  에서의 정의는 첫번째 행을 따라서 여인수 전개(혹은 라플라스 전개)한 것이라고도 부른다.
  • 다르게 표현하면  으로 표현할 수 있고, 크기가 다른 행렬에 대해서도 비슷한 표현이 있다.
  • 여인수의 부호는 교대로 나온다. 행렬의 각각의 위치에서의 성분에 대한 여인수의 부호는 다음과 같다:

 

마치 체스판처럼 생긴 모양이다.
  • 우리는 이 여인수의 부호모양을 나타내는 행렬에서 주대각선에 위치한 여인수는 항상 양수인 것을 볼 수 있다.
  • 이는 주대각선은  행과  열의   가 같아서  이 되기 때문이다.
  • (  행렬에서의  행과  열을 지운 행렬  예시)

 


예시 (  행렬의 행렬식과  행렬의 행렬식의 공식)

  그리고  


  행렬에 대한 행렬식 공식으로 아주 유용한 공식이 있습니다. 사루스의 법칙으로 공식은 다음과 같습니다:

명제 (사루스의 법칙)

 행렬에 대해서 다음 그림에서 보여주는 방식을 따라서 계산할 수 있다:  , 빨간색 화살표는 이어지는 것끼리 곱해서 양의 값으로, 파란색 화살표는 이어지는 것끼리 곱해서 음의 값으로 더하는 것이다. 좀 더 명확하게 하기 위해서 값을 그림 속의 값을 풀어쓰면  이다.


증명:

우리는 이미 예제로 했다. 또 하자고?

비록 사루스의 법칙을 직접적으로 사용할 수 없지만, 간접적인 방식으로   행렬의 행렬식을 계산할 수 있습니다.

예시  


명제 (항등행렬과 영행렬의 행렬식)

영행렬의 행렬식은  이고, 항등행렬의 행렬식은  이다.


증명:

  •  
  •   (첫번째 행과 첫번째 열을 뺀  의 부분행렬은  이다.)
  • 따라서 귀납적으로  이다.

여기에 더해서 임의의 행에 대해서 여인수 전개를 사용하여 다음 정리를 따라 행렬식을 계산할 수 있습니다.

정리 (여인수 전개 정리)

   행렬이라 하고,  를 여인수라고 하자. 그러면 각각의 자연수  에 대해   이고   이다.


참고

  • 첫번째 공식은  행을 따라 여인수 전개한 것이고, 두번째 공식은  열을 따라 여인수 전개한 것이다.


일반적인 경우에 대해서 이것을 증명하는 것은 복잡하므로 넘어가겠습니다.

예시 (여인수 전개 정리에 대한 그림)

  우리는 여기서 2열에 대해서 여인수 전개를 하였다.


틀:예제

이제 우리는 계산을 위한 간단한 몇가지 행렬의 성질을 논할 수 있습니다.

명제 (기본 행 연산을 할 때의 행렬식의 변화)

 를 정사각행렬이라 하자.

  • (치환)  의 두 행을 바꿀 때, 행렬식은  를 곱한다.
  • (스칼라 곱셈)  의 한 행에  이 아닌 상수  를 곱할 때, 행렬식은  를 곱한다.
  • (덧셈)  의 한 행에 다른 행을 곱한 것을 더할 때, 행렬식에는 변화가 없다.


증명

설명:

  • (치환)예시

 

  • (스칼라 곱셈)예시

 

  • (덧셈)예시

 


참고

  • 스칼라 곱셈과 관련된 성질에서  가 0일 수 있고, 그 때의 행렬식도 0을 곱한 것과 같다. 물론  를 곱할 때  이면 스칼라 곱셈에 해당하지 않는다.
  • 두개의 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이다. 아래의 따름정리에 따라 치환의 결과로 알 수 있다.
  • 이 명제의 관점에서 우리는 좀 더 쉽게 행렬식을 계산하는 전략을 세울 수 있다:
  • 스칼라 곱셈을 통해 공약수를 꺼내 성분들의 숫자를 줄여 계산을 쉽게한다.
  • 덧셈을 성분들을 더 많이  으로 바꾼다.
  • 여인수 전개를  이 많은 행 또는 열에 대해서 사용한다.
  • 명제에서 언급한 기본 행연산 말고도 기본 '열'연산에도 적용할 수 있다.
  • 이는 전치행렬의 행렬식이 원래 행렬의 행렬식과 같기 때문이다.(행렬식의 성질에 관한 명제에서 언급할 것이다.)
  • 그래서 다양한 관점에서 연산을 살펴보면 기본 열연산을 적용하는 것은 근본적으로 기본 행연산을 적용하는 것과 같다.
  • 기본 열연산들을 기본 행연산에서의   (행)을   (열)로 바꿔 비슷한 표현을 얻을 수 있다.


예시 (방데르몽드 행렬)

 


따름정리

두 개의 행이 같은 정사각행렬의 행렬식은  이다.


증명

 를 두 개의 행이 같은 정사각행렬이라 하자.  의 같은 두 개의 행을 바꿔도 여전히 행렬은 바뀌지 않는다. 그러나 두 개의 행렬식은  을 곱한 값이다. 즉,   이것은 정의나 귀납법으로도 증명이 가능하다.


틀:예제

이제 행렬의 가역성을 정하는 간편한 방법을 소개합니다. 그 전에 다음 보조정리 먼저 살펴봅시다.

보조정리

각각의 기본행렬   에 대해,  


증명

  • (치환:  )   그리고   (행들을 바꿨기 때문)
  • (스칼라 곱셈:  )   그리고   (행에  이 아닌 상수를 곱했기 때문)
  • (덧셈:  )   그리고   (한 행에 다른 행의 곱을 더했기 때문)


정리 (행렬식을 통한 가역성 결정)

정사각행렬은 행렬식이  이 아닐 때만 가역적이다.


증명

  • '행렬식이 0일 때 가역적'인 부분: 간략화한 가역행렬의 기본정리를 통해 행렬  와 똑같은 가역행렬이면서 기본행렬들의 곱이다. 이를 기본행렬  를 통해 나타내면,

 

  • '가역적이면 행렬식이 0'인 부분: 기본행렬  에 대해  ,   의 RREF라고 하자. 이는 다음을 함의한다.

 

 이므로  이다. 따라서  는 모든 성분이  인 행을 가지지 않는다.(그런 행을 가지면 행렬식은 0이어야 할 것이다.)  는 RREF이므로 이는  임을 의미한다. ( 는 정사각행렬이므로, 모든 열이 선행성분을 갖는 것은 아니면, RREF에 의해 뒤쪽의 행에 적어도 하나는 모든 성분이  인 행이 존재한다.) 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해  는 가역적이다.


이 결과를 얻고 나서, 행렬식을 쉽게 계산할 수 있는 행렬식의 성질을 말할 수 있습니다.

명제 (행렬식의 성질)

 와 and  를 같은 크기의 정사각행렬이라고 하자. 그럼 다음을 따른다.

  • (곱셈)  
  • (전치 후의 행렬식 불변)  
  • (역행렬의 행렬식과 행렬식의 역수)  


증명

  • (곱셈)  를 기본행렬이라고 하고,   의 RREF라고 할 때  를 생각하자.

 

그리고

 

  • 이제,  임을 증명하는 것이 남아있다.
  •  이면,  이다.
  •  이면,  의 마지막행은 모든 성분이  이고, 따라서  
  •  의 마지막 행 역시 모든 성분이  이며, 따라서  이다.
  • (전치 후의 행렬식 불변) 여인수 전개 정리와 귀납법을 통해 증명할 수 있을 것이다. 예)

  vs.  

  • (역행렬의 행렬식과 행렬식의 역수) 곱셈을 사용하여,

  ( 는 가역적이므로  )


예시

행렬  를 생각하자.  이므로,  는 비가역적이다. 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해, 다음과 같은 결과를 지닌다:

  • homogeneous 선형 연립방정식  은 자명한 해만을 가지지 않는다.
  •  의 RREF는 항등행렬  가 아니다.
  •  는 기본 행렬들의 곱으로 표현될 수 없다.


틀:예제

이제, 역행렬의 연산과 관련된 주목할만한 결과를 가지고 있는 수반행렬에 대해서 소개할 수 있을 것 같습니다.

정의 3. 4. (수반행렬(adjugate matrix))

   행렬이라 하자.  의 수반행렬은  로 표기하고, 이 행렬은  번째 성분이 여인수    행렬이다.


참고

  •   의 여인수 행렬의 전치행렬이다. 즉,  
  • 이는 수반행렬을 계산하는데 더 자주 쓰이는 방법이다.


정리 (행렬식과 수반행렬의 관계)

   행렬이라고 하자. 그러면,  이다.


증명은 복잡하므로 넘깁니다.

따름 정리 (역행렬 공식)

 가 가역적이면, 그 역행렬은  로 주어진다.


증명  


예시 (  행렬의 역행렬 공식)

 라 하자. 따라서  이다. 즉,  행렬의 역행렬을 찾기 위해서는   번째 성분을 서로 바꾸고  번째와  번째 성분에  를 곱하고(이 때는 서로를 안 바꿈) 행렬식의 역수를 곱함으로써 구할 수 있다.


예시 (비가역행렬의 수반행렬)

 를 생각하자. 그러면  이다. 또한,  이다.


틀:예제

이제, 마지막으로, 크라메르 공식이라는 이름이 붙은 선형 연립방정식의 유일한 해를 직접적으로 계산하는 방법을 소개하겠습니다.

정리 (크라메르 공식)

Let   가역행렬   (열을 표현하기에는 자리 차지가 심하므로   행렬의 전치인   표현을 사용할 것이다.)에 대한 선형 연립방정식이라 하자. 또,  라고 표현하고,  를 각각의  에 대하여   열을 열  로 대체한 행렬식이라 하자. 선형 연립방정식의 유일한 해는 다음과 같이 주어진다.  


증명

 가 가역적이므로, 선형 연립방정식의 유일한 해는  이다. 역행렬 공식을 사용하면  를 얻는다. 따라서 각각의  에 대하여,   (   행 위의 성분이고(그리고  의 여인수 행렬의  열 위의 성분이기도 하다.), 따라서 위와 같이 성분을 곱하면  라고 하는   성분을 얻는다.


예시

선형 연립방정식   을 고려하자.  이므로 이 선형 연립방정식의 유일한 해는  이다.


틀:예제