모티베이션

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행렬을 이용하는 가장 중요한 이유 중 하나는 선형 연립방정식을 풀기 위한 것입니다. 몇몇 정의를 따라가다보면 아예 선형 연립방정식을 풀기 위해서 설계되었다고 볼 수도 있을겁니다.

용어 정리

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m행과 n열로 구성된 행렬.

정의 1. 1. 행렬

행렬은 숫자들의 직사각형 배열이다. 수직 단위를 (行)이라 하고, 수평단위들을 (列)이라 한다.

행렬 속 성분은 좌표로 나타낼 수 있으며  번째 행,  번째 열에 있는 요소는 행렬의  번째 성분이라고 한다.


 의 행과  의 열을 가지고 잇는 행렬은   ('m by n 행렬' 혹은 'm 곱하기 n 행렬'이라고 부름) 이라고 쓰며  은 행렬의 크기다. 행은 위에서부터 세고, 열은 왼쪽에서부터 셉니다. 행렬의 크기가  인 경우 우리는 간단하게 이 행렬을 숫자라고 부르고, 이 경우 괄호가 없어도 괜찮습니다.   행렬 속 모든 실수 성분의 집합은  라고 표기합니다. 행렬을 표기할 때는 보통 대문자가 쓰이고, 성분을 표기할 때는 보통 소문자가 쓰입니다. 예를 들어  는 denotes an  행렬   ,  인 성분  을 표현한 것입니다. (앞으로 행렬의 크기에 대해 이미 말했거나, 크기 자체가 별로 중요하지 않다면 크기에 대한 표기는 안 쓰도록 하겠습니다.)

정의 1. 2. 동일한 행렬

두 행렬   는 다음 조건을 만족하면 같다.

  1.  ,
  2.  ,
  3. 각각의  에 대하여  .
  가 같다면  로 쓴다.

참고

  • 다시 말해서, 두 행렬이 같은 크기와 같은 성분을 지니고 있다면 두 행렬은 같다.
  •   가 같지 않다면,  라고 쓴다.


틀:예제 틀:예제 틀:숨김

행렬의 행과 열의 개수가 같은 특별한 경우에 행렬은 좋은 성질들을 가집니다. 이런 종류의 행렬에 대해서 정사각행렬이라고 정의합니다.


정의 1. 3. 정사각행렬

정사각행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬이다.

또, 특정한 상황에서 요긴하게 쓰이는 주대각성분이라는 것에 대해서도 정의할 수 있습니다.

정의 1. 4. 주대각성분

 행렬(정사각행렬)의 주대각성분은  ,  ,  ,   성분들을 말한다.

예시

행렬   의 주대각 성분은   그리고  이다.


참고

예제의  행렬은 항등행렬이다.(추후에 정의할 것이다)


그리고 우리는 주대각성분에 관련한 정의에 의한 어떤 종류의 행렬을 정의할 수 있습니다.

정의 1. 5. 삼각행렬

삼각행렬은 위삼각행렬이거나 아래삼각행렬이다.(포괄적)

위삼각행렬은 주대각성분의 아래쪽이 전부  인 정사각행렬이다.

아래삼각행렬은 주대각성분의 위쪽이 전부  인 정사각행렬이다.

참고

  • 동등하게 그리고 상징적으로, 행렬 에 대해서  일 때  이면 위삼각행렬이고,  일 때  이면 아래삼각행렬이다.
  • 이 삼각행렬들의 형태는 다음과 같다.

  여기서   임의의 성분이다.(0이건 아니건 상관없다.)



정의 1. 6. 대각행렬

대각행렬은 정사각행렬이면서 주대각성분이 아닌 모든 성분이  인 행렬이다.

참고

  • 대각행렬은 위삼각행렬이자 아래삼각행렬이다.
  • 대각행렬의 형태는 다음과 같이 나타난다.

   는 임의의 성분이다.


틀:예제

마지막으로 가끔씩 쓰이는 부분행렬을 정의하겠습니다.

정의 1. 7. 부분행렬

 를 행렬이라 하자.  의 부분행렬은  의 몇몇 행이나 열을 잘라내서 얻어낸 행렬이다.(포괄적).

참고

관습적으로 모든 행렬은 자신의 부분행렬이다.


틀:예제

행렬 연산

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이 파트에서는 다양한 행렬 연산에 대해 다룰 것입니다. 행렬 곱셈 같은 일부 연산은 기존의 수체계에서의 연산과 많이 다릅니다.

정의 1. 8. 행렬의 덧셈과 뺄셈

  를 같은 크기를 가지는 행렬이라고 하자. 우리는 행렬 덧셈과 뺄셈을   로 정의한다.


정의 1. 9. 행렬의 스칼라곱

행렬  를 생각하자. 우리는 행렬의 스칼라곱을   로 정의한다.


이제, 우리는 기존의 곱셈과는 꽤 다른 행렬의 곱셈을 정의할 것입니다.

 
행렬 곱셈을 나타낸 그림

정의 1. 10. 행렬의 곱셈

  를 행렬이라 하자.   의 행렬곱    행렬이고,  번째 성분은   가 된다.  의 열의 수( )와  의 행의 수 ( )가 다르면 행렬 곱셈은 정의되지 않는다.

이와 달리, 정사각행렬의 거듭제곱은 기존의 수 체계와 꽤나 비슷하게 정의됩니다.

정의 1. 11. 정사각행렬의 거듭제곱

 를 정사각행렬이라 하자.  가 양수인   번 거듭제곱( 로 표현)은   번 곱한 것과 같다. 예를 들어,  


틀:예제

그리고 수 체계에서 0에 해당하는 행렬인 영행렬과 1에 해당하는 항등행렬을 논해보겠습니다.

정의 1. 12. 영행렬

영행렬은 모든 성분이   행렬로,  나 달리 해석될 여지가 없다면  으로 표기한다.

참고

영행렬은 수 체계에서의 숫자  과 유사하다. 영행렬은 행렬 연산에서 다음과 같은 역할을 한다.

  1. 어떤 행렬  이든  을 만족하는 크기가 같은 영행렬을 가질 수 있다.
  2. 곱셈이 잘 정의되어 있다면 모든 행렬  에 대해서  를 가질 수 있다.


정의 13. 항등행렬

  항등행렬은 모든 주대각성분이    행렬이다.  나 달리 해석될 여지가 없을 때  이라고 표현한다.

참고

항등행렬은 수 체계에서의 숫자  과 비슷하다. 행렬  에 대해 곱셈이 잘 정의되어 있을 때  이다.


예시

  • 영행렬   
  • 항등행렬   


성질(행렬 연산의 성질)

 를 연산이 잘 정의된 행렬이라고 하자. 그리고 스칼라  가 주어져 있다고 하자. 이 행렬들은 다음 성질을 따른다.

(i) (행렬 곱셈의 결합법칙)  .

(ii) (숫자 0과 1의 역할)  

(iii) (행렬 곱셈의 분배법칙)  

(iv)  .


참고

행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 일반적으로 행렬곱  과 행렬곱  은 다르다.


또, 수 체계에서는 존재하지 않는 연산인 전치(transpose)에 대해서 소개하겠습니다.

정의 1. 14. 행렬의 전치

행렬  을 생각하자. 행렬  의 전치는 행렬   이고, 이를 전치행렬이라고 한다.


참고

정의를 따라서   행렬의 전치는 더 말할 필요 없이 자기 자신이다.


 
이 예시를 표현한 그림.

예시

 인 행렬  를 생각하자. 그러면   이다.


성질(전치행렬의 성질) 연산이 잘 정의된 행렬   를 생각하자. 그러면, 다음을 따른다.

(i) (자기반전성 혹은 가역성)  

(ii) (선형성) 모든 실수  ,  에 대해서  

(iii)  


 
  대칭행렬의 대칭 패턴

정의 1. 15. 대칭행렬

행렬    일 때  를 대칭행렬이라고 한다.


정의 1. 16. 반대칭행렬

행렬    일 때  를 반대칭행렬이라고 한다.

성질(대칭행렬과 반대칭행렬의 필요조건)

대칭과 반대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다.


증명:

전치에서 행과 열이 서로 자리를 바꾸기 때문에 원래행렬과 전치행렬의 크기가 서로 같으려면 정사각행렬인 경우 밖에 없다는 관찰을 통해 알 수 있다.

참고

그렇다고 이것은 모든 정사각행렬이 대칭행렬이거나 반대칭행렬이라는 뜻은 아니다. 행렬이 정사각행렬이어야 한다는 것은 대칭행렬과 반대칭행렬의 필요조건이지, 충분조건이 아니다.


예시

  은 대칭행렬,   은 반대칭행렬이고, 이 반대칭행렬의 전치는   이다. 반대칭행렬에서 모든 주대각성분은 0이어야 한다.