해석학 개론/치환적분

치환적분은 적분하고자 하는 식의 변수를 다른 변수로 치환할 때 적분의 형태가 어떻게 변하는지를 말해주는 공식이다.

마치 언뜻 보기에는 귀찮은 방정식인 $x^{3}+4x^{2}+6x^{2}+4x+4=0$을 $x$에 관해 풀 때 새로운 변수 $y=x+1$을 도입하여 $y^{4}+4=0$라는 좀 더 풀기쉬운 방정식을 대신 풀듯 쉽게 만드는 법이다. 이러한 공식은 연쇄법칙덕에 성립한다.

공식 : 부정적분 꼴

$\int f(g(t))g'(t)\,dt=\int f(x)\,dx$

공식 : 정적분 꼴

$g(t)$가 구간 $[a,b]$에서 정의된 연속미분가능한 함수이고 $f(x)$가 $g(t)$의 이미지를 포함하는 구간에서 정의된 적분가능한 함수이면

$\int _{a}^{b}f'(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx$

가 성립한다.