부분 적분 은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 해석학개론/곱셈법칙 에서 유도할 수 있다.
두 미분가능한 연속 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}
이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
a
b
=
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
.
{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).}
이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
{\displaystyle f(b)g(b)-f(a)g(a)\,}
=
∫
a
b
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx}
=
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle =\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx}
부정적분의 경우에는 다음과 같다.
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
g
(
x
)
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\,dx}
또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}
여기서,
u
=
f
(
x
)
,
v
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=f(x),\ v=g(x)}
d
u
=
f
′
(
x
)
d
x
,
d
v
=
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle du=f'(x)dx,\ dv=g'(x)dx}
다음 식을 적분한다.
∫
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int x\cos x\,dx}
이때,
u
=
x
,
d
u
=
d
x
,
d
v
=
cos
x
d
x
,
v
=
sin
x
{\displaystyle u=x,\ du=dx,\ dv=\cos x\,dx,\ v=\sin x}
∫
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int x\cos x\,dx}
=
∫
u
d
v
{\displaystyle =\int u\,dv}
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle =uv-\int v\,du}
가 되어,
∫
x
cos
x
d
x
=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
{\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx}
∫
x
cos
x
d
x
=
x
sin
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C}
와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때,
C
{\displaystyle C}
∫
e
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx}
이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.
u
=
cos
x
,
d
u
=
−
sin
x
d
x
{\displaystyle u=\cos x,du=-\sin x\,dx}
d
v
=
e
x
d
x
,
v
=
e
x
{\displaystyle dv=e^{x}dx,\ v=e^{x}}
이때,
∫
e
x
cos
x
d
x
=
e
x
cos
(
x
)
+
∫
e
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin x\,dx}
이고,
우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.
u
=
sin
x
;
d
u
=
cos
x
d
x
{\displaystyle u=\sin x\;;\ du=\cos x\,dx}
v
=
e
x
;
d
v
=
e
x
d
x
{\displaystyle v=e^{x}\;;\ dv=e^{x}dx}
그러면,
∫
e
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\,dx}
=
e
x
sin
x
−
∫
e
x
cos
x
d
x
{\displaystyle =e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx}
이므로, 함께 적으면,
∫
e
x
cos
x
d
x
=
e
x
cos
x
+
e
x
sin
x
−
∫
e
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx}
임을 알 수 있다.
자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,
2
∫
e
x
cos
x
d
x
=
e
x
(
sin
x
+
cos
x
)
{\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}(\sin x+\cos x)}
이고, 2로 나눠
∫
e
x
cos
x
d
x
=
e
x
(
sin
x
+
cos
x
)
2
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={e^{x}(\sin x+\cos x) \over 2}}
와 같은 결과를 얻을 수 있다.
또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에
x
{\displaystyle x}
첫 번째 예는,
∫
ln
x
d
x
{\displaystyle \int \ln x\,dx}
위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
∫
(
ln
x
)
⋅
1
d
x
{\displaystyle \int (\ln x)\cdot 1\,dx}
다음과 같이 가정하면,
u
=
ln
x
;
d
u
=
1
x
d
x
{\displaystyle u=\ln x\;;\ du={\frac {1}{x}}dx}
v
=
x
;
d
v
=
1
⋅
d
x
{\displaystyle v=x\;;\ dv=1\cdot dx}
∫
ln
x
d
x
{\displaystyle \int \ln x\,dx}
=
x
ln
x
−
∫
x
x
d
x
{\displaystyle =x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx}
=
x
ln
x
−
∫
1
d
x
{\displaystyle =x\ln x-\int 1\,dx}
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-{x}+{C}}
∫
ln
x
d
x
=
x
(
ln
x
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}
이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.
두 번째 예는
∫
arctan
x
d
x
{\displaystyle \int \arctan x\,dx}
arctan
{\displaystyle \arctan }
∫
1
⋅
arctan
x
d
x
{\displaystyle \int 1\cdot \arctan x\,dx}
다음과 같이 가정하면,
u
=
arctan
x
;
d
u
=
1
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle u=\arctan x\;;\ du={\frac {1}{1+x^{2}}}dx}
v
=
x
;
d
v
=
1
⋅
d
x
{\displaystyle v=x\;;\ dv=1\cdot dx}
∫
arctan
x
d
x
{\displaystyle \int \arctan x\,dx}
=
x
arctan
x
−
∫
x
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle =x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx}
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle =x\arctan x-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}
임을 확인 할 수 있다.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f063b6b8950ae84eb90684ce93c7d4ef13838d8)
![{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254c72061ba797f0b611f1b4342e1ed2d2083282)
