해석학 개론/상한, 하한

정의2.0 실수의 집합 R의 공집합이 아닌 부분집합 A가 있다고 한다. 이 때, 어떤 실수 M이 존재해 모든 x∈A에 대해서 x≤M을 만족할 때, M을 집합A의 상계라고 하며, 집합 A의 상계가 존재할 때 집합A는 위로 유계라고 한다. 마찬가지로, 어떤 실수 M이 존재해 모든 x∈A에 대해서 x≥M을 만족할 때, M을 집합A의 하계이라고 하며, 집합A의 하계가 존재할 때 집합A는 아래로 유계라고 한다. 그리고 집합A가 위로 유계이며 아래로 유계이기도 할 때 집합A는 유계라고 한다. 집합A가 공집합일 때는 집합A는 유계라고 정한다.

이제 논리식으로 적으면 다음과 같다.

A는 위로 유계이다　 $\Leftrightarrow \ \exists M\in \mathbb {R} \ \ \forall x\in A\ \ s.t\ \ x\leq M$

A는 아래로 유계이다　$\Leftrightarrow \ \exists M\in \mathbb {R} \ \ \forall x\in A\ \ s.t\ \ x\geq M$

정의2.1 $\mathbb {R}$의 부분집합 A가 있다고 하자. 이 때, 어떤 a∈A가 존재해서 임의의 x∈A에 대해서 $x\leq a$가 성립하면 a를 A의 최대값이라 부르며, 어떤 b∈A가 존재해서 임의의 x∈A에 대해$x\geq b$가 성립하면 b를 A의 최소값이라고 부른다.

공리 (완비성의 공리, 연속성의 공리) 집합A의 상계가 존재할 때 상계를 모두 모아놓은 집합을 U={x∈R|x는 A의 상계이다}라고 하자. 이 때, U는 항상 최소값을 가진다. 마찬가지로 집합A의 하계가 존재할 때 하계를 모두 모아놓은 집합을 L={x∈R|x는 A의 하계이다}이라고 할 때, L은 항상 최대값을 가진다.

정의2.2 $\mathbb {R}$의 부분집합 A가 위로 유계일 때 A의 상계의 최소값을그 값을 집합A의 상한이라고 하며, A가 아래로 유계일 때 A의 하계의 최대값을 집합A의 하한이라고 한다.

정리2.3 a가 A의 상한이라는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것과 동치이다.

(U1) $\forall x\in A\ \ s.t\ \ x\leq a$

(U2) $\forall \varepsilon >0\,\,\exists b\in A\ \ s.t\ \ a-\varepsilon <b$

(증명)

(=>)

(<=)

■

정리2.5 b가 A의 하한이라는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것과 동치이다.

(L1)

(L2)

(증명생략)