해석학 개론/음함수의 미분

음함수의 미분

음함수는 연쇄법칙(Chain rule)을 이용한 미분할 수 있다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, $dy/dx$를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후에 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.

예 1 : 일차함수

다음과 같은 음함수를 미분하려고 한다.

$y+2x=-4$

이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.

${\frac {dy}{dx}}=-2$

이번에는 주어진 음함수에 대해 그대로 양변을 미분해보자.

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {d(2x)}{dx}}={\frac {d(-4)}{dx}}$

간단한 미적분학의 지식을 통해 다음과 같이 됨을 알 수 있다.

${\frac {dy}{dx}}+2=0$

그리하여 양함수를 미분했을 때와 동일한 결과를 얻게 된다.

예 2 : 원의 방정식

단위원의 방정식이 주어져 있다.

$x^{2}+y^{2}=1$

양변을 미분하여 다음을 얻는다.

$2x+2y{\frac {dy}{dx}}=0$

$y^{2}$을 미분할 때 연쇄법칙(Chain rule)을 이용하였다. 또는 합성함수의 미분이라고 생각해도 좋다. 그래서 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$