일본의 수학교육/고등학교 수학 I/방정식과 부등식

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방정식과 부등식

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「방정식과 부등식」의 분야는 크게 아래의 3개로 나눌 수 있습니다.

• 수와 식

전개나 인수분해를 할 수 있도록 하여, 수를 실수까지 확장하는 것의 의의를 이해합니다.

• 일차부등식

일차 부등식의 해결법을 이해하고, 수직선상에 해를 나타낼 수 있도록 합니다.

• 이차방정식

근의 공식을 이용해 2차 방정식을 풀 수 있도록 하고, 또 판별식에 의해서 해의 개수를 판단할 수 있도록 합니다.

수와 식

식의 전개와 인수분해

단항식과 다항식

3이나 12 등의 수(정수)나, x 나 y 등의 문자(변수)를 아우르는 식을 항(term)이라고 합니다.

다음과 같은 것이 항입니다.

• 3x
• 12y
• 0
• -x
• 256xy²

이와 같이 하나의 항만으로 구성되어 있는 식을 단항식(monomial)이라고 합니다. 1개이상의 단항식을 서로 더해서 구성할 수 있는 식을 다항식(polynomial)이라고 합니다.

아래는 다항식의 예입니다.

• 3x + 12y
• 5 + a - 13x²y
• a² + 2ab + b²
• x - y
• 2

단항식도, 항이 1개 밖에 없는 다항식의 하나입니다. x - y 와 같이 뺄셈을 포함한 식은, x - y = x + (-y) = -y + x 와 뺄셈을 다른 식으로 고칠 수 있으므로, x, -y 항을 가진 다항식이라고 생각할 수 있습니다. 즉, 다항식의 항이란, 다항식을 덧셈의 형태로 고쳤을 때, 하나 하나의 더해 합쳐진 형태의 식입니다. 예를 들어 5 + a - 13x2y = 5 + a + (-13x2y)의 항은 5, a, -13x2y 의 3개입니다.

이 책에서는 단항식도 다항식의 특별한 경우로 생각하지만, 문자 그대로 복수의 항을 가지는 식만을 다항식이라고 불러 한 개의 항만을 가진 단항식과 구별하는 사람들도 있습니다.

간단한 문제!

다음의 식이 단항식인지, 다항식인지를 답해보세요. ax2 × bx × c -(x3y4 )(z5) (a+b)2 (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

동류항

${3}{x}^{2}\mathrm {+} {5}{x}^{2}\mathrm {+} {8}{x}$의 $3{x}^{2}$와 $5{x}^{2}$와 같이 다항식의 문자와 지수가 완전히 같은 항을 총칭하여 동류항(同類項, like terms)이라고 합니다.

동류항은 분배법칙 ab + ac = a(b + c) (을)를 사용해 정리할 수 있습니다. 예를 들어 3x² + 5x² + 8x = (3 + 5)x² + 8x = 8x² + 8x 입니다. 8x²과 8x는 문자는 같지만 지수가 다르므로, 동류항은 아닙니다.

문제!

다음의 다항식의 동류항을 정리하시오. $4x^{3}-3xy-2+1-3x^{3}+4xy$ $2a^{2}-4ab+2a-4ab^{2}-4a^{2}b$ $9x^{2}y^{3}z^{4}-8z^{2}y^{3}x^{4}+7zyx-6xyz+5x^{2}yz-4y^{2}xz+3zx^{2}y-2x^{4}y^{3}z^{2}$

답

$x^{3}+xy-1$ $2a^{2}-4ab+2a-4ab^{2}-4a^{2}b$ $-10x^{4}y^{3}z^{2}+9x^{2}y^{3}z^{4}+8x^{2}yz-4xy^{2}z+xyz$

차수

$3x$라는 단항식은 3이라는 숫자와 $x$라는 문자로 나누어 생각할 수 있습니다. 수의 부분을 단항식의 계수(coefficient)라고 합니다. 가령, $-x$ = $-1x$라는 단항식의 계수는 -1 입니다.

256xy²라는 단항식은 256이라는 숫자와 x, y, y라는 문자로 나누어 생각할 수 있기 때문에, 이 단항식의 계수는 256입니다. 한편, 곱해져 있는 문자의 수를 단항식의 차수(degree)라고 합니다. 256xy²는 x, y, y라는 세 문자가 곱해져 있다고 생각할 수 있기 때문에, 이 단항식의 차수는 3입니다. 0이라는 단항식의 차수는 0 = 0x = 0x² = 0x³ = ... 으로 하나로 정해지지 않기 때문에, 여기에서는 고려하지 않습니다.

단항식의 계수와 차수는, 단순히 수와 문자로 나누어 생각할 것이 아닙니다. 문자를 변수로 보았을 때, 나머지 문자를 상수로 봐서 수처럼 취급하는 것입니다.

예를 들어, -5abcx³ (단, a, b, c는 상수)라는 단항식은, x³만 변수로 취급하며 나머지 문자인 a, b, c는 일정한 수가 들어가는 것이라고 생각할 수 있습니다. 그러므로, (-5abc)x³과 같으므로, 이 단항식의 계수는 -5abc이며, 변수는 x³이고, 차수는 3이라고 할 수 있습니다. (즉, 실제로 계산할 때 -5abc는 어느 일정한 숫자가 되는 것입니다.)

즉, -5abcx³라는 단항식에서, x에 주목한다면 계수는 -5abc, 차수는 3이 되는 것입니다.

혹은 -5abcx³의 a와 b에 주목한다면, 이것은 '단, c, x는 상수'라는 조건과 동일합니다. 그렇기 때문에, -5cx³ab로 나뉘며, a와 b에 주목했을 때의 이 단항식의 계수는 -5cx³이 되고, 변수는 ab, 그리고 차수는 2가 됩니다.

통상적으로는 a, b, c, ... 등의 알파벳 첫 번째 문자부터 나열하여 상수를 나타는데 쓰고, x, y, z, 등의 알파벳 마지막 쪽의 문자로 변수를 나타내는데 씁니다.

다항식의 차수는 다항식의 동류항을 정리했을 때에, 가장 차수가 높은 항의 차수를 말하는 것입니다. 예를 들어 $x^{3}+3x^{2}y+2y$에서 가장 차수가 높은 항은 $x^{3}$이기 때문에, 이 다항식의 차수는 3입니다. 만약 $x^{3}+3x^{2}y+2y$（x 는 상수）이면, 즉 y에 주목하면 가장 차수가 높은 항은 $3x^{2}y$과 $2y$이므로, 이 다항식의 차수는 1입니다. 이 때, 주목한 문자를 포함하지 않는 항, $x^{3}$은 상수항(constant term)으로, 숫자와 동일하게 취급됩니다.

문제!

다음의 다항식의 x 또는 y 에 주목했을 때의 차수와 정수항을 각각 말하여라. $x^{6}+10xy^{2}+8x^{4}y+y^{5}-1$ $-ad-bcx^{2}-bc+2x^{3}y^{2}+y^{100}$ $pxy+q^{9}y^{2}+pqxy-p^{8}q^{3}x^{2}y+px^{4}y^{3}+pq^{2}x^{3}y^{4}$

답

x 에 주목하면 6차식, 정수항은 $y^{5}-1$ y 에 주목하면 5차식, 정수항은 $x^{6}-1$ x 에 주목하면 3차식, 정수항은 $-ad-bc+y^{100}$ y 에 주목하면 100차식, 정수항은 $-ad-bcx^{2}-bc$。 x 에 주목하면 4차식, 정수항은 $q^{9}y^{2}$ y 에 주목하면 4차식. 정수항은 존재하지 않는다.

다항식의 계산

다항식의 곱은 분배 법칙을 사용하여 계산할 수 있습니다.

${\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=(a+b)c+(a+b)d\\&=(ac+bc)+(ad+bd)\\&=ac+bc+ad+bd\end{aligned}}$

이렇게 다항식의 곱으로 표현된 식을 하나의 다항식으로 펼치는 것을 다항식을 전개(expand)라고 합니다.

지수법칙

a를 n 번 곱한 것을 $a^{n}$이라고 쓰고, a의 n 승이라고 읽습니다. 그러나 $a^{1}=a$라고 합니다. 예를들어,

$2^{1}=2$

$2^{2}=2\times 2=4$

$2^{3}=2\times 2\times 2=8$

$2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16$

$2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

...

입니다. $a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},...,a^{n}$를 총칭하여 a의 제곱(exponentiation)이라고 합니다. 또한, $a^{n}$에서 n을 지수, a는 바닥이라고 합니다. 여기에서는 자연수, 즉 양의 정수의 지수를 생각합니다. 지수는 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

$2^{1}=2$

$2^{2}=2^{1}\times 2=2\times 2=4$

$2^{3}=2^{2}\times 2=4\times 2=8$

$2^{4}=2^{3}\times 2=8\times 2=16$

$2^{5}=2^{4}\times 2=16\times 2=32$

...

제곱끼리의 곱은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${\begin{aligned}a^{2}\times a^{3}&=(a\times a)\times (a\times a\times a)\\&=a^{2+3}\\&=a^{5}\end{aligned}}$

제곱끼리의 나누기는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${\begin{aligned}a^{3}\div a^{2}&={\frac {a\times a\times a}{a\times a}}\\&={\frac {a}{1}}\\&=a\end{aligned}}$

지수의 거듭제곱은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${\begin{aligned}(a^{2})^{3}&=a^{2}\times a^{2}\times a^{2}\\&=a^{2+2+2}\\&=a^{2\times 3}\\&=a^{6}\end{aligned}}$

곱의 제곱은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${\begin{aligned}(ab)^{2}&=a\times b\times a\times b\\&=a\times a\times b\times b\\&=a^{2}b^{2}\end{aligned}}$

이러한 것들을 아울러서 지수법칙(exponential law)이라고 합니다.

지수법칙

m, n 을 양수라고 하면, $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n},m>n$ $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

아래는 지수법칙의 증명입니다.

지수법칙의 증명

${\begin{aligned}a^{m}\times a^{n}&=\overbrace {\underbrace {(a\times a\times \cdots \times a)} _{m}\times \underbrace {(a\times a\times \cdots \times a)} _{n}} ^{m+n}\\&=a^{m+n}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a^{m}\div a^{n}&={\frac {\overbrace {a\times a\times \cdots \times a} ^{m}}{\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}}\\&={\frac {\overbrace {a\times a\times \cdots \times a} ^{n}\times \overbrace {a\times a\times \cdots \times a} ^{m-n}}{\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}}\\&={\frac {\overbrace {a\times a\times \cdots \times a} ^{m-n}}{1}}\\&=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{m-n}\\&=a^{m-n}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(a^{m})^{n}&=\underbrace {a^{m}\times a^{m}\times \cdots \times a^{m}} _{n}\\&=a^{\overbrace {m+m+\cdots +m} ^{n}}\\&=a^{mn}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(ab)^{n}&=\underbrace {(a\times b)\times (a\times b)\times \cdots \times (a\times b)} _{n}\\&=\underbrace {(a\times a\times \cdots \times a)} _{n}\times \underbrace {(b\times b\times \cdots \times b)} _{n}\\&=a^{n}b^{n}\end{aligned}}$

다음 문제를 풀어보세요 :)

문제!

다음 식을 계산해보세요. $x^{4}\times x^{3}$ $(a^{3})^{4}$ $(-a^{2}b)^{3}$

답

$x^{4}\times x^{3}=x^{4+3}=x^{7}$ $(a^{3})^{4}=a^{3\times 4}=a^{12}$ $(-a^{2}b)^{3}=(-1)^{3}(a^{2})^{3}b^{3}=-a^{2\times 3}b^{3}=-a^{6}b^{3}$

곱셈공식

일단, 아래의 문제를 곧바로 풀어보도록 하세요. 위에서 바로 문제를 풀었는데, 또 푸는군요 :)

문제!

다음 식을 전개하세요. $(a+b)^{2}$ $(a-b)^{2}$ $(a+b)^{3}$ $(a-b)^{3}$ $(a+b+c)^{2}$ $(a-b-c)^{2}$

답은 아래입니다 :)

답

${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\&=a(a+b)+b(a+b)\\&=(aa+ab)+(ba+bb)\\&=aa+ab+ba+bb\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(a-b)^{2}&=\{a+(-b)\}^{2}\\&=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}\\&=a^{2}-2ab+b^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(a+b)^{3}&=(a+b)(a+b)^{2}\\&=(a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})\\&=a(a^{2}+2ab+b^{2})+b(a^{2}+2ab+b^{2})\\&=(a^{3}+2a^{2}b+ab^{2})+(a^{2}b+2ab^{2}+b^{3})\\&=a^{3}+(2a^{2}b+a^{2}b)+(ab^{2}+2ab^{2})+b^{3}\\&=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(a-b)^{3}&=\{a+(-b)\}^{3}\\&=a^{3}+3a^{2}(-b)+3a(-b)^{2}+(-b)^{3}\\&=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(a+b+c)^{2}&=\{(a+b)+c\}^{2}\\&=(a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})+(2ac+2bc)+c^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}+2ac+2bc+c^{2}\\&=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(a-b-c)^{2}&=a^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}+2a(-b)+2(-b)(-c)+2(-c)a\\&=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\end{aligned}}$

위를 정리하면, 다음과 같은 공식을 얻을 수 있습니다.

전개의 공식 (곱셈공식)

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$ $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$ $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$ $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$ $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ （발전） $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$（이항정리）

그럼, 이제 곱셈공식을 이용해서 아래의 문제들을 풀어보세요.

다음 식을 전개하세요.

1. $(a+2b)^{2}$
2. $(3x-5y)^{2}$
3. $(4x-3y)(4x+3y)$
4. $(x+1)(x-5)$
5. $(3x+2y)(2x-y)$
6. $(x+3)(x^{2}-3x+9)$
7. $(a-5)(a^{2}+5a+25)$
8. $(x+4)^{3}$
9. $(3a-2b)^{3}$

해답은 바로 아래에 있습니다. 맞으셨나요? :)

1. $a^{2}+2\times a\times 2b+(2b)^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}$
2. $(3x)^{2}-2\times 3x\times 5y+(5y)^{2}=9x^{2}-30xy+25y^{2}$
3. $(4x)^{2}-(3y)^{2}=16x^{2}-9y^{2}$
4. $x^{2}+\{1+(-5)\}x+1\times (-5)=x^{2}-4x-5$
5. $(3\times 2)x^{2}+\{3\times (-y)+2y\times 2\}x+2y\times (-y)=6x^{2}+xy-2y^{2}$
6. $\left(x+3\right)\,\left(x^{2}-x\times 3+3^{2}\right)=x^{3}+3^{3}=x^{3}+27$
7. $\left(a-5\right)\,\left(a^{2}+a\times 5+5^{2}\right)=a^{3}-5^{3}=a^{3}-125$
8. $x^{3}+3\times x^{2}\times 4+3\times x\times 4^{2}+4^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64$
9. $(3a)^{3}-3\times (3a)^{2}\times 2b+3\times 3a\times (2b)^{2}-(2b)^{3}=27a^{3}-54a^{2}b+36ab^{2}-8b^{3}$

곱셈공식의 활용

복잡한 식의 전개는 식의 일부분을 다른 문자로 치환하여 공식을 사용하면 좋습니다.

• 문제

다음 식을 전개하시오.

1. $(a+3b-2c)^{2}$
2. $(x+y+4)(x-3y+4)$
3. $\left(x^{2}-2x+3\right)\,\left(x^{2}+2x-3\right)$

• 답

1. $a+3b=A$로 두면

${\begin{aligned}(a+3b-2c)^{2}&=(A-2c)^{2}\\&=A^{2}-4cA+4c^{2}\\&=(a+3b)^{2}-4c(a+3b)+4c^{2}\\&=a^{2}+6ab+9b^{2}-4ca-12bc+4c^{2}\\&=a^{2}+9b^{2}+4c^{2}+6ab-12bc-4ca\\\end{aligned}}$

1. $x+4=A$로 두면

${\begin{aligned}(x+y+4)(x-3y+4)&=(A+y)(A-3y)\\&=A^{2}-2yA-3y^{2}\\&=(x+4)^{2}-2y(x+4)-3y^{2}\\&=x^{2}+8x+16-2xy-8y-3y^{2}\\&=x^{2}-3y^{2}-2xy+8x-8y+16\\\end{aligned}}$

1. $2x-3=A$로 두면

${\begin{aligned}\left(x^{2}-2x+3\right)\,\left(x^{2}+2x-3\right)&=\left\{x^{2}-(2x-3)\right\}\left\{x^{2}+(2x-3)\right\}\\&=\left(x^{2}-A\right)\,\left(x^{2}+A\right)\\&=x^{4}-A^{2}\\&=x^{4}-(2x-3)^{2}\\&=x^{4}-(4x^{2}-12x+9)\\&=x^{4}-4x^{2}+12x-9\\\end{aligned}}$

인수분해

인수분해 공식

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ $acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ （발전） $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

• 문제

다음 식을 인수분해하시오.

1. $2abc-4ab^{2}$
2. $x^{2}+6x+9$
3. $4a^{2}-4ab+b^{2}$
4. $64x^{2}-9y^{2}$
5. $x^{2}-x-6$
6. $3x^{2}+2x-5$
7. $6x^{2}+xy-y^{2}$
8. $x^{3}+8$
9. $27a^{3}-64b^{3}$

• 답

1. ${\color {red}2ab}\times c-{\color {red}2ab}\times 2b={\color {red}2ab}(c-2b)$
2. $x^{2}+2\times x\times 3+3^{2}=(x+3)^{2}$
3. $(2a)^{2}-2\times 2a\times b+b^{2}=(2a-b)^{2}$
4. $(8x)^{2}-(3y)^{2}=(8x+3y)(8x-3y)$
5. $x^{2}+\{2+(-3)\}x+2\times (-3)=(x+2)(x-3)$
6. $(1\times 3)x^{2}+\{1\times 5+(-1)\times 3\}x+(-1)\times 5=(x-1)(3x+5)$
7. $(2\times 3)x^{2}+\{2\times (-y)+y\times 3\}x+y\times (-y)=(2x+y)(3x-y)$
8. $x^{3}+2^{3}=\left(x+2\right)\,\left(x^{2}-x\times 2+2^{2}\right)=\left(x+2\right)\,\left(x^{2}-2x+4\right)$
9. $(3a)^{3}-(4b)^{3}=\left(3a-4b\right)\,\{(3a)^{2}+3a\times 4b+(4b)^{2}\}=\left(3a-4b\right)\,\left(9a^{2}+12ab+16b^{2}\right)$

여러가지 인수분해

• 문제

다음 식을 인수분해하시오.

1. $3xy^{3}+81x$
2. $(x-5)^{2}-9y^{2}$
3. $x^{2}+xy+y-1$
4. $x^{2}+xy-2y^{2}+2x+7y-3$

• 답

${\begin{aligned}3xy^{3}+81x&=3x(y^{3}+27)\\&=3x(y^{3}+3^{3})\\&=3x\left(y+3\right)\,\left(y^{2}-y\times 3+3^{2}\right)\\&=3x\left(y+3\right)\,\left(y^{2}-3y+9\right)\\\end{aligned}}$

　$x-5=A$로 두면

${\begin{aligned}(x-5)^{2}-9y^{2}&=A^{2}-9y^{2}\\&=(A+3y)(A-3y)\\&=\left\{(x-5)+3y\right\}\left\{(x-5)-3y\right\}\\&=(x+3y-5)(x-3y-5)\\\end{aligned}}$

　가장 차수가 낮은 $y$에 착안하여 정리하면

${\begin{aligned}x^{2}+xy+y-1&=(x+1)y+\left(x^{2}-1\right)\\&=(x+1)y+(x+1)(x-1)\\&=(x+1)\left\{y+(x-1)\right\}\\&=(x+1)(x+y-1)\\\end{aligned}}$

　$x$에 착안하여 정리하면

${\begin{aligned}x^{2}+xy-2y^{2}+2x+7y-3&=x^{2}+(y+2)x-(2y^{2}-7y+3)\\&=x^{2}+(y+2)x-(y-3)(2y-1)\\&=\left\{x-(y-3)\right\}\left\{x+(2y-1)\right\}\\&=(x-y+3)(x+2y-1)\\\end{aligned}}$

실수

a=b²이 성립할 때, a=2가 되는 b, 즉 ${\sqrt {2}}$의 구체적인 값이 어떤 것인지 알아봅시다.

b=1	a=1	b=2	a=4
b=1.4	a=1.96	b=1.5	a=2.25
b=1.41	a=1.9881	b=1.42	a=2.0164
b=1.414	a=1.999396	b=1.415	a=2.002225
b=1.4142	a=1.99996164	b=1.4143	a=2.00024449

이와 같이, b를 어떤 수로 대입하더라도 a는 2가 되지 않습니다.

사실 ${\sqrt {2}}$는 분모 분자 모두 정수의 분수로 나타낼 수 없습니다. 이처럼 정수를 분모 분자를 갖는 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라고 합니다. 예를 들어, 원주율 π는 무리수입니다. 반면, 정수와 순환소수 등 분모와 분자 모두 정수의 분수로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 합니다.

유리수와 무리수를 합쳐서 실수라고 합니다. 모든 실수는 수직선상의 점으로 나타낼 수 있습니다. 또한, 모든 실수는 유한소수, 무한 소수로 나타낼 수 있습니다. (이에 대해서는 아래의 "무한소수"절을 참조하세요.)

${\sqrt {2}}$가 무리수임을 증명하기 (발전단계)

${\sqrt {2}}$가 유리수라고 가정하면, 서로소인 정수 m, n을 사용하여 분수로 나타내면,

${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$

가 됩니다. 이 때 양변을 제곱하고, 분모를 양변에 곱하면

$2n^{2}=m^{2}$ … (1)

따라서 m은 2의 배수이며, 정수 $l$을 사용하여 $m=2l$로 나타낼 수 있습니다. 이를 (1) 식에 대입하여 정리하면,

:$2l^{2}=n^{2}$

따라서, n도 2의 배수이지만, 이것은 m, n이 2라는 공약수를 갖게 됩니다. 이는 서로소라고 가정한 것에 모순입니다. 따라서, ${\sqrt {2}}$는 무리수가 됩니다.

무한소수

0.1이나 0.123456789처럼, 한정된 자릿수로 끝나는 소수를 유한소수라고 합니다. 한편, $0.1234512345\ldots$이나 $3.1415926535\ldots$처럼 무한히 계속되는 소수를 무한소수라고 합니다. 무한소수 중 어느 자릿수에서 숫자배열이 반복되는 것을 순환소수라고 합니다. 예를 들면, $0.3333333333\ldots$이나 $0.1428571428\ldots$ 등이 이에 해당합니다. 이러한 순환소수에서 반복이 되는 단위를 순환마디라고 합니다. 순환소수는 순환마디 하나를 사용하여 $0.{\dot {3}}$, $0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}$, $0.1{\dot {2}}{\dot {3}}$와 같이 순환의 처음과 끝(순환마디가 하나인 경우는 하나만) 위에 점을 찍어 나타냅니다.

모든 순환 소수는 분수로 고칠 수가 있는데, $a=0.{\dot {3}}$ (1) 로 두면, $10a=3.{\dot {3}}$ (2) 입니다. (2) - (1)을 하면, $9a=3$이고, $a={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$가 됩니다.

(예1)	$a=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}$
	$1000000a=142857.{\dot {1}}4285{\dot {7}}$
	$999999a=142857$
	$a={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}$
(예2)	$a=0.1{\dot {2}}{\dot {3}}$
	$100a=12.3{\dot {2}}{\dot {3}}$
	$99a=12.2$
	$a={\frac {12.2}{99}}={\frac {61}{495}}$

절댓값

실수 a에 대해서 수직선상의 a의 수에서 원점까지의 거리를 a의 절댓값이라고 하고, $|a|$로 나타냅니다.

절댓값

$a\geq 0$일 때,　　$|a|=a$ $a<0$일 때,　　$|a|=-a$

예를 들어,

$|2|=2$

$|-3|=-(-3)=3$

입니다.

정의에 따라서, $|a|=|-a|$입니다. 또한 수직선상의 임의의 두 점 $\mathrm {P} (a),\mathrm {Q} (b)$ 사이의 거리에 대해서 다음과 같은 것이 성립합니다.

두 점 사이의 거리

수직선 위의 두 점 $\mathrm {P} (a)$와 $\mathrm {Q} (b)$사이의 거리 $\mathrm {P} \mathrm {Q}$가 $|b-a|$로 표시된다.

• 문제

두 점 $\mathrm {P} (\pi )$과 $\mathrm {Q} (-1)$사이의 거리를 구하시오.

• 답

$\mathrm {P} \mathrm {Q} =|-1-\pi |=-(-1-\pi )=\pi +1$

절댓값을 포함한 방정식을 생각해 봅시다.

절댓값 $|x|$는 수직선상에서 원점 $\mathrm {O}$와 $\mathrm {P} (x)$ 사이의 거리를 나타내고 있습니다.

따라서, $a>0$일 때 $|x|=a\Leftrightarrow x=\pm a$

• 문제

다음 방정식을 푸시오,
(1)

$|x|=6$

(2)

$|x-3|=5$

• 답

(1)

$|x|=6$

$x=\pm 6$

(2)

$|x-3|=5$

$x-3=\pm 5$

$x=3\pm 5$

$x=8\ ,\ -2$

제곱근

제곱하여 a가되는 수 b를 생각해 봅시다.

$a=1$일 때, $b=1$로써 끝내서는 안 됩니다. 확실히, $b=1$도 조건을 충족하지만, $b=-1$도 조건을 만족합니다. 따라서 $b=\pm 1$입니다. 일반적으로 양수 a에 대해 a=b²이 되는 b는 두 개가 존재하고, 그 두 수의 절댓값은 동일합니다. 이 두 b를 a의 제곱근이라고 합니다. a의 제곱근 중 양수인 것을 ${\sqrt {a}}$, 음수인 것을 $-{\sqrt {a}}$라고 씁니다. ${\sqrt {a}}$는 루트 a라고 읽습니다. 한편, 음수 a의 제곱근이 되는 b는 쉽게 찾을 수 없을 것입니다. 사실, 음수의 제곱근은 실수로 나타낼 수가 없습니다.

• 양수 a의 제곱근은 $\pm {\sqrt {a}}$입니다.
• 음수 a의 제곱근은 실수의 범위에서 존재하지 않습니다.

• 문제

$2,4,9,12$의 제곱근을 구하시오.

• 해답

$\pm$를 붙이면 됩니다. 그러나 간단화하는 과정이 필요합니다. 가령

$2$는

$\pm {\sqrt {2}}$가 됩니다.

즉, 해답은..

$\pm {\sqrt {2}}$

$\pm 2$

$\pm 3$

$\pm 2{\sqrt {3}}$

일반적으로 ${\sqrt {A^{2}}}=|A|$가 됩니다.

제곱근을 포함한 식의 계산

일반적으로 다음과 같은 것이 성립합니다.

제곱근에서 성립하는 특징

$a>0\ ,\ b>0\ ,\ k>0$일 때, ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ ${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}$ ${\sqrt {k^{2}a}}=k{\sqrt {a}}$

• 문제

(1)

${\sqrt {8}}{\sqrt {14}}$

(2)

$2{\sqrt {18}}+{\sqrt {50}}$

(3)

$\left({\sqrt {3}}-2{\sqrt {6}}\right)^{2}$

• 해답

(1)

${\sqrt {8}}{\sqrt {14}}={\sqrt {8\times 14}}={\sqrt {2^{4}\times 7}}=2^{2}{\sqrt {7}}=4{\sqrt {7}}$

(2)

$2{\sqrt {18}}+{\sqrt {50}}=2\times 3{\sqrt {2}}+5{\sqrt {2}}=(6+5){\sqrt {2}}=11{\sqrt {2}}$

(3)

먼저, 곱셈공식 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$을 이용하여 전개합니다. 자세한 내용은 "곱셈 공식" 부분을 참고해 주세요.

$\left({\sqrt {3}}-2{\sqrt {6}}\right)^{2}=\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-2\times {\sqrt {3}}\times 2{\sqrt {6}}+\left(2{\sqrt {6}}\right)^{2}=3-4{\sqrt {18}}+24=27-4\times 3{\sqrt {2}}=27-12{\sqrt {2}}$

분모에 근호를 포함하지 않는 식으로 만드는 것을 분모를 유리화한다고 합니다.

• 문제

(1)

${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {12}}}$

(2)

${\frac {{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}}{3{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}$

분모를 유리화하시오.

• 답

(1)

${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {12}}}={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {6}}{6}}$

(2)

${\frac {{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}}{3{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}={\frac {({\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}{(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}}={\frac {6+{\sqrt {6}}+6{\sqrt {6}}+6}{(3{\sqrt {2}})^{2}-({\sqrt {3}})^{2}}}={\frac {12+7{\sqrt {6}}}{18-3}}={\frac {12+7{\sqrt {6}}}{15}}$

이중근호 (발전)

이중근호는 근호가 이중으로 되어있는 식입니다. 이중근호 안의 수는 항상 빼낼 수 있는 것이 아니라, 근호에 포함되는 식이 어떤지에 따라서 쉽게 할 수 있는지 여부가 결정됩니다. 일반적으로 근호의 식을 $x^{2}$의 형태로 변형 할 수 있는 경우는 아중근호를 제거 할 수 있습니다.

• 문제

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}$를 간단히 하시오.

• 답

$3+2{\sqrt {2}}$이$(\cdots )^{2}$의 형태로 나타낼 수 있는지 생각해 봅니다. 가령, $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}$ (단, a와 b는 양의 정수)의 형태로 나타낼 수 있다고 가정하면,

$3+2{\sqrt {2}}=a+b+2{\sqrt {ab}}$의 형태가 되고,

$a+b=3$

$ab=2$

가 됩니다. 이처럼, a와 b에 해당하는 정수를 찾으면 됩니다. 결국은

$3+2{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}}+1)^{2}$가 성립하게 됩니다. 따라서,

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {({\sqrt {2}}+1)^{2}}}={\sqrt {2}}+1$가 됩니다.

이중근호

$a>0\ ,\ b>0$ 일 때 ${\sqrt {(a+b)+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}$ $a>b>0$ 일 때 ${\sqrt {(a+b)-2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}$

• 문제

다음을 간단히 하시오.

(i)

${\sqrt {12-6{\sqrt {3}}}}$

(ii)

${\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}$

• 답

(i)

${\sqrt {12-6{\sqrt {3}}}}={\sqrt {12-2{\sqrt {27}}}}={\sqrt {(9+3)-2{\sqrt {9\times 3}}}}={\sqrt {9}}-{\sqrt {3}}=3-{\sqrt {3}}$

(ii)

${\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\frac {6+2{\sqrt {5}}}{2}}}={\frac {\sqrt {(5+1)+2{\sqrt {5\times 1}}}}{\sqrt {2}}}={\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {1}}}{\sqrt {2}}}={\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}}{2}}$

일차부등식

일차부등식

앞에서 방정식이라는 것을 이미 학습하였습니다. 여기에서는 다른 양의 크기의 차이를 나타내는 기호를 도입해 보고, 그 성질에 대해 정리해 보겠습니다.

어느 수 A와 B가 있을 때, A가 B가 큰 것을 $A>B$로 나타내고, A보다 B가 큰 것을 $A<B$로 나타냅니다. 여기서 > 와 < 를 부등호라고 합니다. $\geq ,\leq$도 부등호지만, 같은 값을 포함하다는 의미를 갖고 있습니다.

가령, $x>7$라는 식이 있을 때, 'x는 7보다 큰 실수'라는 의미를 갖고 있습니다. 그리고 $x\geq 7$는 'x는 7 이상의 실수'라는 뜻을 갖고 있습니다.

부등식에서는 등식과 같이, 양변에 연산을 하여도 부등호의 방향이 바뀌지 않는 것이 있습니다. 예를 들어서, 양변에 같은 수를 더하여도 양변의 대소관계는 변화하지 않습니다. 그러나 양변에 음수를 곱하였을 때에는, 부등호의 방향이 변하기 때문에, 이에 대한 주의가 필요합니다. 이는 음수를 곱하는 경우, 양변의 값이 0을 중심으로 수직선을 되풀이한 지점에 옮겨지기 때문입니다.

부등식의 성질

$a<b$일 때,$a+c<b+c$,$a-c<b-c$ $a<b$,$c>0$일 때,$ac<bc$,${\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$ $a<b$,$c<0$일 때,$ac>bc$,${\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$

$x>y$가 성립할 때에는 $x+3>y+3$, $4x>4y$도 성립합니다. 또, $-x<-y$가 성립합니다.

부등식의 성질을 이용하여

$a{\color {red}+3}<b\;$

양변에서 3을 빼면

$a+3-3<b-3\;$

따라서

$a<b{\color {red}-3}\;$

입니다. 이처럼, 부등식에서도 이항할 수 있습니다.

그래프 상에서 생각할 때, 부등식은 그래프의 영역을 나타냅니다. 영역의 경계는 등호로 표시한 부분이 대응하게 됩니다. 가령, 아래의 문제를 풀어보세요.

• $y>x+1$,$y<2x+1$,$x<3$의 그래프를 그려 보시오.

문제!

다음의 부등식을 풀어보시오. $3x-1\leq 9x-7$ $3(x-2)>2(5x-3)$ $x+1<{\frac {x-1}{3}}$

답

(1) $3x-1\leq 9x-7$ $3x-9x\leq -7+1$ $-6x\leq -6$ $x\geq 1$# $2a^{2}-4ab+2a-4ab^{2}-4a^{2}b$ (2) $3(x-2)>2(5x-3)$ $3x-6>10x-6$ $3x-10x>-6+6$ $-7x>0$ $x<0$ (3) $x+1<{\frac {x-1}{3}}$ $3x+3<x-1$ $3x-x<-1-3$ $2x<-4$ $x<-2$

연립 부등식

여러 개의 부등식을 결합한 것을 연립 부등식이라고 하며, 이러한 여러 부등식을 동시에 충족시키는 $x$ 값의 범위를 구하는 것을 연립 부등식을 푼다고 합니다.

문제!

다음의 연립 부등식을 풀어보시오. (i) $\left\{{\begin{matrix}x+2<2x+4\\10-x\geq 3x-6\end{matrix}}\right.$ (ii) ${\begin{cases}x\geq 1-x\\2(x+1)>x-2\end{cases}}$

답

(i) $x+2<2x+4$부터 $-x<2$ $x>-2$……(1) $10-x\geq 3x-6$부터　$-4x\geq -16$ $x\leq 4$……(2) (1),(2)를 동시에 만족하는 $x$ 값의 범위는 $-2<x\leq 4$ (ii) $x\geq 1-x$부터　$2x\geq 1$ $x\geq {\frac {1}{2}}$……(1) $2(x+1)>x-2$부터　$2x+2>x-2$ $x>-4$……(2) (1),(2)를 동시에 만족하는 $x$ 값의 범위는 $x\geq {\frac {1}{2}}$