해석학 개론/연쇄법칙

연쇄 법칙은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.

라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.

연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환적분이라 한다.

다변수 함수에 대한 연쇄법칙 +/-

aRn, g : RnRm, f : RmRp라 하자. 만약 ga에서 미분가능하고, fg(a)에서 미분가능하다면 fga에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

 

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x1, x2, …, xn) : RnRm , f(u1, u2,…, um) : RmRa에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = fg= f(g(x1, x2, …, xn))는 미분가능하고 미분은

 

편미분은

 

이다.

증명 +/-

연쇄법칙은 g(x)가 k 부근에서 g(k)와 다른 값을 가지는 경우 당연하게 증명된다. 하지만, 실제로는 g(k)와 g(x)가 같은 값을 가질 수 있고, f(g(x))가 미분 가능하다는 것도 증명이 필요한 사실이다.