연쇄 법칙 은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)}
라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.
d
f
d
x
=
d
f
d
g
⋅
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}
연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환적분 이라 한다.
a ∈ R n , g : R n → R m , f : R m → R p 라 하자. 만약 g 가 a 에서 미분가능하고, f 가 g (a )에서 미분가능하다면 f ∘g 는 a 에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.
D
(
f
∘
g
)
(
a
)
=
D
f
(
g
(
a
)
)
D
g
(
a
)
{\displaystyle D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}
합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g (x 1 , x 2 , …, x n ) : R n → R m , f (u 1 , u 2 ,…, u m ) : R m → R 가 a 에서 미분가능하다고 하면 Df 는 ∇f 가 되고 함수 z = f ∘g = f (g (x 1 , x 2 , …, x n ))는 미분가능하고 미분은
D
z
(
a
)
=
D
(
f
∘
g
)
(
a
)
=
D
f
(
g
(
a
)
)
D
g
(
a
)
=
∇
f
(
g
(
a
)
)
D
g
(
a
)
{\displaystyle Dz(a)=D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )=\nabla f(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}
편미분은
∂
z
∂
x
j
=
∑
i
=
1
m
∂
f
∂
u
i
∂
u
i
∂
x
j
=
∂
f
∂
u
1
∂
u
1
∂
x
j
+
∂
f
∂
u
2
∂
u
2
∂
x
j
+
⋯
+
∂
f
∂
u
m
∂
u
m
∂
x
j
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}{\partial f \over \partial u_{i}}{\partial u_{i} \over \partial x_{j}}={\partial f \over \partial u_{1}}{\partial u_{1} \over \partial x_{j}}+{\partial f \over \partial u_{2}}{\partial u_{2} \over \partial x_{j}}+\cdots +{\partial f \over \partial u_{m}}{\partial u_{m} \over \partial x_{j}}}
이다.
연쇄법칙은 g(x)가 k 부근에서 g(k)와 다른 값을 가지는 경우 당연하게 증명된다. 하지만, 실제로는 g(k)와 g(x)가 같은 값을 가질 수 있고, f(g(x))가 미분 가능하다는 것도 증명이 필요한 사실이다.
