위키백과에 이 문서와이차 방정식
최고차항의 차수 가 2인 방정식 을 이차방정식 (二次方程式, Quadratic equation)이라고 한다. 그 중 미지수
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
[ 2]
이차방정식을 푸는 방법은 인수 분해 한 다음,
A
B
=
0
{\displaystyle AB=0}
A
=
0
{\displaystyle A=0}
B
=
0
{\displaystyle B=0}
[ 3]
10
x
2
−
2
=
21
x
+
8
{\displaystyle 10x^{2}-2=21x+8}
⇔
10
x
2
−
21
x
−
10
=
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 10x^{2}-21x-10=0}
⇔
(
2
x
−
5
)
(
5
x
+
2
)
=
0
{\displaystyle \Leftrightarrow (2x-5)(5x+2)=0}
⇔
2
x
−
5
=
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 2x-5=0}
5
x
+
2
=
0
{\displaystyle 5x+2=0}
⇔
x
=
5
2
{\displaystyle \Leftrightarrow x={5 \over 2}}
x
=
−
2
5
{\displaystyle x=-{2 \over 5}}
아래와 같이 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있다.[ 4]
x
2
=
k
{\displaystyle x^{2}=k}
k
≥
0
{\displaystyle k\geq 0}
⇔
x
=
±
k
{\displaystyle \Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {k}}}
a
x
2
=
k
{\displaystyle ax^{2}=k}
a
≠
0
,
a
k
≥
0
{\displaystyle a\neq 0,ak\geq 0}
⇔
x
2
=
k
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}={k \over a}}
⇔
x
=
±
k
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {k \over a}}}
(
x
−
p
)
2
=
q
{\displaystyle (x-p)^{2}=q}
q
≥
0
{\displaystyle q\geq 0}
⇔
x
−
p
=
±
q
{\displaystyle \Leftrightarrow x-p=\pm {\sqrt {q}}}
⇔
x
=
p
±
q
{\displaystyle \Leftrightarrow x=p\pm {\sqrt {q}}}
a
(
x
−
p
)
2
=
q
{\displaystyle a(x-p)^{2}=q}
a
≠
0
,
a
q
≥
0
{\displaystyle a\neq 0,aq\geq 0}
⇔
(
x
−
p
)
2
=
q
a
{\displaystyle \Leftrightarrow (x-p)^{2}={q \over a}}
⇔
x
−
p
=
±
q
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x-p=\pm {\sqrt {q \over a}}}
⇔
x
=
p
±
q
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x=p\pm {\sqrt {q \over a}}}
이차방정식의 두 근의 값이 서로 같을 때의 근을 중근 이라고 한다.[ 5] [ 5] [ 6]
x
2
−
8
x
+
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-8x+10=0}
⇔
x
2
−
8
x
+
16
=
6
{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}-8x+16=6}
⇔
(
x
−
4
)
2
=
6
{\displaystyle \Leftrightarrow (x-4)^{2}=6}
⇔
x
−
4
=
±
6
{\displaystyle \Leftrightarrow x-4=\pm {\sqrt {6}}}
⇔
x
=
4
±
6
{\displaystyle \Leftrightarrow x=4\pm {\sqrt {6}}}
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
[ 7] [ 8]
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
⇔
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0}
⇔
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+{b \over a}x=-{c \over a}}
⇔
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+{b \over a}x+\left({b \over 2a}\right)^{2}=-{c \over a}+\left({b \over 2a}\right)^{2}}
⇔
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x+{b \over 2a}\right)^{2}={{b^{2}-4ac} \over {4a^{2}}}}
⇔
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x+{b \over 2a}=\pm {{\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}}
⇔
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \Leftrightarrow x={{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over 2a}}
따라서
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over 2a}}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over 2a}}
이차방정식의 근의 공식 이라고 한다.
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
b
=
2
b
′
{\displaystyle b=2b'}
b
=
2
b
′
{\displaystyle b=2b'}
[ 8]
x
=
−
2
b
′
±
(
2
b
′
)
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={{-2b'\pm {\sqrt {(2b')^{2}-4ac}}} \over {2a}}}
=
−
2
b
′
±
4
b
′
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle ={{-2b'\pm {\sqrt {4b'^{2}-4ac}}} \over {2a}}}
=
−
2
b
′
±
4
(
b
′
2
−
a
c
)
2
a
{\displaystyle ={{-2b'\pm {\sqrt {4(b'^{2}-ac)}}} \over {2a}}}
=
−
2
b
′
±
2
b
′
2
−
a
c
2
a
{\displaystyle ={{-2b'\pm 2{\sqrt {b'^{2}-ac}}} \over {2a}}}
=
−
b
′
±
b
′
2
−
a
c
a
{\displaystyle ={{-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}} \over {a}}}
따라서
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
b
=
2
b
′
{\displaystyle b=2b'}
x
=
−
b
′
±
b
′
2
−
a
c
a
{\displaystyle x={{-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}} \over {a}}}
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
b
{\displaystyle b}
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over 2a}}
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
판별식 이라고 하며, 판별식을 바탕으로 이차방정식의 근의 개수를 정리하면 아래와 같다.[ 9] [ 10]
이차방정식
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle b^{2}-4ac>0}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over 2a}}
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-4ac=0}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{b \over 2a}}
[ 11]
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle b^{2}-4ac<0}
[ 11]
위키백과에 이 문서와이차 함수
최고차항의 차수 가 2인 함수 를 이차함수 (二次函數, Quadratic function)라고 한다. 일반적으로 이차함수는
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
a
≠
0
,
a
,
b
,
c
{\displaystyle a\neq 0,a,b,c}
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a
≠
0
,
a
,
b
,
c
{\displaystyle a\neq 0,a,b,c}
위키백과에 이 문서와포물선
이차함수
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
l
{\displaystyle l\,}
F
{\displaystyle F}
l
{\displaystyle l\,}
포물선 (抛物線, Parabola)이라고 한다.[ 12] 축 (軸, Axle)이라고 하며 포물선과 축의 교점을 꼭짓점 (Vertex)이라고 한다.[ 13] [ 12]
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
+/-
이차함수
f
(
x
)
=
a
x
2
|
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
}
{\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!}
이차함수
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
[ 14] [ 15]
꼭짓점의 좌표가
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
y
{\displaystyle y}
축의 방정식이
x
=
0
{\displaystyle x=0}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
y
=
−
a
x
2
{\displaystyle y=-ax^{2}}
x
{\displaystyle x}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
+/-
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
(
a
≠
0
)
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q(a\neq 0)}
[ 16] [ 15]
꼭짓점의 좌표는
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
직선
x
=
p
{\displaystyle x=p}
축의 방정식이
x
=
p
{\displaystyle x=p}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
이차함수
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
x
{\displaystyle x}
p
{\displaystyle p}
y
{\displaystyle y}
q
{\displaystyle q}
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
x
{\displaystyle x}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
y
{\displaystyle y}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
0
{\displaystyle 0}
[ 17]
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
x
{\displaystyle x}
m
{\displaystyle m}
y
{\displaystyle y}
n
{\displaystyle n}
y
=
a
(
x
−
p
−
m
)
2
+
q
+
n
{\displaystyle y=a(x-p-m)^{2}+q+n}
[ 17]
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[ 17]
−
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle -y=a(x-p)^{2}+q}
⇔
y
=
−
{
a
(
x
−
p
)
2
+
q
}
{\displaystyle \Leftrightarrow y=-\left\{a(x-p)^{2}+q\right\}}
⇔
y
=
−
a
(
x
−
p
)
2
−
q
{\displaystyle \Leftrightarrow y=-a(x-p)^{2}-q}
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
x
{\displaystyle x}
y
=
−
a
(
x
−
p
)
2
−
q
{\displaystyle y=-a(x-p)^{2}-q}
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
y
{\displaystyle y}
y
=
a
(
x
+
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x+p)^{2}+q}
[ 17]
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
+/-
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
[ 18]
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
⇔
y
=
a
(
x
2
+
b
a
x
)
+
c
{\displaystyle \Leftrightarrow y=a\left(x^{2}+{b \over a}x\right)+c}
⇔
y
=
a
{
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
}
+
c
−
(
b
2
4
a
)
{\displaystyle \Leftrightarrow y=a\left\{x^{2}+{b \over a}x+\left({b \over 2a}\right)^{2}\right\}+c-\left({b^{2} \over 4a}\right)}
⇔
y
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle \Leftrightarrow y=a\left(x+{b \over 2a}\right)^{2}-{b^{2}-4ac \over 4a}}
따라서 이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
(
−
b
2
a
,
−
b
2
−
4
a
c
4
a
)
{\displaystyle \left(-{b \over 2a},-{b^{2}-4ac \over 4a}\right)}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{b \over 2a}}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
c
)
{\displaystyle (0,c)}
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
x
{\displaystyle x}
m
{\displaystyle m}
y
{\displaystyle y}
n
{\displaystyle n}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
y
=
a
(
x
−
p
−
m
)
2
+
q
+
n
{\displaystyle y=a(x-p-m)^{2}+q+n}
[ 18]
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[ 18]
−
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle -y=ax^{2}+bx+c}
⇔
y
=
−
{
a
x
2
+
b
x
+
c
}
{\displaystyle \Leftrightarrow y=-\left\{ax^{2}+bx+c\right\}}
⇔
y
=
−
a
x
2
−
b
x
−
c
{\displaystyle \Leftrightarrow y=-ax^{2}-bx-c}
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
[ 18]
y
=
a
(
−
x
)
2
+
b
(
−
x
)
+
c
{\displaystyle y=a(-x)^{2}+b(-x)+c}
y
=
a
x
2
−
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}-bx+c}
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
c
)
{\displaystyle (0,c)}
[ 19]
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
[ 19]
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
a
b
>
0
{\displaystyle ab>0}
y
{\displaystyle y}
a
b
<
0
{\displaystyle ab<0}
y
{\displaystyle y}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
y
{\displaystyle y}
c
>
0
{\displaystyle c>0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
c
<
0
{\displaystyle c<0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
어떤 함수에서 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값 (最大값, Maximum)이라고 하고, 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값 중에서 가장 작은 값을 최솟값 (最小값, Minimum)이라고 한다.[ 20] [ 21]
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
q
{\displaystyle q}
[ 22] [ 20]
a
<
0
{\displaystyle a<0}
q
{\displaystyle q}
[ 23] [ 20]
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
[ 20]
