기초 수학/방정식과 함수/일차방정식과 일차함수

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일차방정식과 일차함수

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일차방정식과 일차함수 단원에서는 일차방정식과 일차부등식, 일차함수, 연립일차방정식과 연립일차부등식의 뜻과 성질을 다룬다.^[1]

일차방정식

일차방정식의 뜻

최고차항의 차수가 1인 방정식을 일차방정식(一次方程式, Linear equation)이라고 한다. 그 중 미지수 $x$ 가 포함된 일차방정식을 ' $x$ 에 관한 일차방정식'이라고 한다.^[2]

등식의 성질

등식(等式, Equality)은 두 개 이상의 수식을 등호로 묶어 표현하는 관계식이다. 등식의 성질은 다음과 같다.^[3]

$a=b$ 이면, $a+c=b+c$
$a=b$ 이면, $a-c=b-c$
$a=b$ 이면, $ac=bc$
$a=b$ 이면, ${a \over c}={b \over c}$ (단, $c\neq 0$ )

일차방정식의 풀이

등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 한다.^[2] 일차방정식은 등식의 성질을 이용하여 $ax=b$ 꼴로 변형하여 푼다.

$2(3x+4)-3(4x-5)=-1$

\Leftrightarrow 2\times 3x+2\times 4-3\times 4x+3\times 5=-1

\Leftrightarrow 6x+8-12x+15=-1

\Leftrightarrow (6x-12x)+(8+15)=-1

\Leftrightarrow -6x+23=-1

\Leftrightarrow (-6x+23)-23=-1-23

\Leftrightarrow -6x=-24

\Leftrightarrow -6x\div (-6)=-24\div (-6)

\Leftrightarrow x=4

일차방정식을 풀어 미지수를 계산한 값을 일차방정식의 해 또는 일차방정식의 근이라고 한다.

일차함수

일차함수의 뜻

{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

를 기울기라고 한다.

최고차항의 차수가 1인 함수를 일차함수(一次函數, Linear function)라고 한다. 일차함수는 $f(x)=ax+b$ ( $a,b$ 는 상수, $a\neq 0$ )의 꼴로 나타낼 수 있으며, 여기서 $a$ 를 기울기(Slope)라고 한다.

일차함수의 성질

일차함수 $f(x)=ax+b$ ( $a,b$ 는 상수, $a\neq 0$ )는 다음과 같은 성질이 있다.^[4]

$(0,b)$ 을 지나는 직선이다.
기울기는 $a$ 이다.
$y$ 절편은 $b$ 이다.
직선의 $x$ 축이 양의 방향과 이루는 각이 $\theta$ 일 때, 기울기는 $\tan \theta$ 이다.

일차함수의 그래프

순서쌍과 좌표평면

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순서쌍을 이용하여 점을 평면좌표에 나타낸 모습

좌표를 나타내는 평면을 좌표평면(座標平面) 또는 직교 좌표계(直交座標系, Rectangular Coordinate System)라고 부른다. 어떤 원소를 순서에 따라 쌍을 지어 나타내는 것을 순서쌍(順序雙, Ordered pair)이라고 한다. 일반적으로 일차함수 위의 어떤 점을 좌표평면에 나타낼 때 순서쌍 $(x,y)$ 과 같은 형태로 나타낸다.

일차함수의 그래프의 절편

일차함수를 그래프에 나타내었을 때, 일차함수의 그래프와 $x$ 축과 만나는 점의 $x$ 좌표를 ' $x$ 절편'이라고 하고, 일차함수의 그래프와 $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 좌표를 ' $y$ 절편'이라고 한다.^[5]

$y=ax+b$ 에서
- $x$ 절편은 $y=0$ 일 때 $x$ 의 값이므로, $-{b \over a}$ 가 $x$ 절편이다.
- $y$ 절편은 $x=0$ 일 때 $y$ 의 값이므로, $b$ 가 $y$ 절편이다.

일차함수 그래프의 표현

다음과 같이 일차함수의 성질을 이용하여 일차함수를 그래프로 표현할 수 있다.^[6]

함수 $f(x)=mx$ ( $m$ 는 상수, $m\neq 0$ )는 $(0,0)$ 을 지나고 기울기가 $a$ 인 직선 그래프이다. 함수 $f(x)=m(x-a)$ ( $m,a$ 는 상수, $m\neq 0$ )는 함수 $f(x)=mx$ 그래프를 $x$ 축 방향으로 $a$ 만큼 이동한 그래프이며, 함수 $f(x)=mx+b$ ( $m,b$ 는 상수, $m\neq 0$ )는 함수 $f(x)=mx$ 그래프를 $y$ 축 방향으로 $b$ 만큼 이동한 그래프이다. 함수 $f(x)=m(x-a)+b$ ( $m,a,b$ 는 상수, $m\neq 0$ )는 함수 $f(x)=mx$ 그래프를 $x$ 축 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축 방향으로 $b$ 만큼 이동한 그래프이다.

일차부등식

일차부등식의 뜻

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최고차항의 계수가 1인 부등식을 일차부등식(一次不等式, Linear inequality)이라고 한다.

부등식의 성질

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부등식(不等式, Inequality)은 두 수나 식의 크기를 나타낸 관계식이다. 부등호를 사용하여 두 크기의 비교를 표시한다. 부등식의 성질은 다음과 같다.^[7]

$a<b$ 이면, $a+c<b+c$
$a<b$ 이면, $a-c<b-c$
$a<b,c>0$ 이면, $ac<bc$
$a<b,c>0$ 이면, ${a \over c}<{b \over c}$
$a<b,c<0$ 이면, $ac>bc$
$a<b,c<0$ 이면, ${a \over c}>{b \over c}$

일차부등식의 풀이

일차부등식은 부등식의 성질과 이항을 이용하여 푼다.^[8]

$2(3x+4)-3(4x-5)>-1$

\Leftrightarrow 2\times 3x+2\times 4-3\times 4x+3\times 5>-1

\Leftrightarrow 6x+8-12x+15>-1

\Leftrightarrow (6x-12x)+(8+15)>-1

\Leftrightarrow -6x+23>-1

\Leftrightarrow (-6x+23)-23>-1-23

\Leftrightarrow -6x>-24

\Leftrightarrow -6x\div (-6)<-24\div (-6)

\Leftrightarrow x<4

연립일차방정식

연립일차방정식의 풀이

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연립일차방정식(聯立一次方程式, System of linear equations)은 일차방정식 여러 개를 한 쌍으로 묶은 방정식을 말한다. 연립일차방정식은 소거하는 방법과 방정식의 성질을 이용하여 푼다.^[9] 한 근을 구하면 다른 식에 대입하여 풀 수 있다.

${\begin{cases}2x-3y=5\\-x+2y=-2\end{cases}}$

\Leftrightarrow {\begin{cases}2x-3y=5\\(-x+2y)\times 2=(-2)\times 2\end{cases}}

\Leftrightarrow {\begin{cases}2x-3y=5\\-2x+4y=-4\end{cases}}

위 두 식을 더하여

x

를 소거하여 계산하면

y=1

을 계산해낼 수 있다.

y=1

을 위 두 식 중 하나에 대입하여 풀면

x=4

임을 구할 수 있다.

연립일차부등식

연립일차부등식의 풀이

연립일차부등식(聯立一次方程式, System of linear inequalities)은 일차부등식 여러 개를 한 쌍으로 묶은 부등식을 말한다. 연립일차부등식은 부등식의 성질을 이용하여 각 부등식의 범위를 구한 후, 각 부등식의 범위에 포함되는 해의 집합의 교집합을 구한다.^[10]