기초 수학/피타고라스 정리와 삼각비/피타고라스 정리

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피타고라스 정리

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피타고라스 정리 단원에서는 피타고라스 정리를 이해하고 평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 다룬다.

피타고라스 정리

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피타고라스 정리의 증명

오른쪽 그림과 같은 정사각형에서 한 변의 길이는 $a+b$이기 때문에 넓이는 $(a+b)^{2}$이다. 반면, 네 개의 직각삼각형의 넓이의 합은 $\scriptstyle {\frac {ab}{2}}\times 4$이고 가운데 정사각형 부분의 넓이는 $c^{2}$이므로 이 둘의 합이 정체 정사각형의 넓이라는 점을 이용하여 전체 정사각형 넓이를 계산하면 $\scriptstyle {\frac {ab}{2}}\times 4+c^{2}$이다. 이를 이용하여 정리하면 아래와 같다.

• $(a+b)^{2}=\left({ab \over 2}\times 4\right)+c^{2}$

$\Leftrightarrow (a+b)^{2}=2ab+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2}$

위와 같은 직각삼각형에서 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 이 성립한다. 이를 '피타고라스 정리'라고 한다.

즉, 직각삼각형의 각 변의 길이를 각각 $a,b,c$이 있고 $c$ 를 빗변의 길이라고 할 때 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 이 성립한다. 이를 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)라고 한다.

두 점 사이의 거리

좌표평면에서 두 점 $P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$이 있을 때, 점 $P(x_{1},y_{1})$에서 $x$축에 평행하게 그은 직선과 점 $Q(x_{2},y_{2})$에서 $y$축에 평행하게 그은 직선이 만나는 점을 $R$이라고 하고, 두 점 $P,Q$ 사이의 거리를 $l$이라고 하자. $\triangle RPQ$는 $l$을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, ${\overline {PR}}=x_{2}-x_{1}$, ${\overline {QR}}=y_{2}-y_{1}$이므로 $l,{\overline {PR}},{\overline {QR}}$은 피타고라스 정리에 의해 아래와 같은 관계가 있다.

${\begin{aligned}l^{2}&={\overline {PR}}^{2}+{\overline {QR}}^{2}\\&=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\end{aligned}}$

$\Leftrightarrow l={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

따라서 좌표평면에서 두 점 $P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$가 있을 때 두 점 사이의 거리 $l$은 아래와 같다.

• $l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}$

피타고라스 정리의 역

삼각형의 세 변의 길이를 각각 $a,b,c$라고 할 때 이들의 관계가 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$이 성립하면 $c$가 빗변인 직각삼각형이다.

$\triangle ABC$에서 ${\overline {BC}}=a,{\overline {AC}}=b,{\overline {AB}}=c$일 때 아래와 같은 관계가 있다.

• $\angle C<90^{\circ }$일 때

  $a^{2}+b^{2}>c^{2}$ (예각삼각형)

• $\angle C=90^{\circ }$일 때

  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (직각삼각형)

• $\angle C>90^{\circ }$일 때

  $a^{2}+b^{2}<c^{2}$ (둔각삼각형)

또한 위의 역도 아래와 같이 성립한다.

• $a^{2}+b^{2}>c^{2}$일 때

  $\angle C<90^{\circ }$ (예각삼각형)

• $a^{2}+b^{2}=c^{2}$일 때

  $\angle C=90^{\circ }$ (직각삼각형)

• $a^{2}+b^{2}<c^{2}$일 때

  $\angle C>90^{\circ }$ (둔각삼각형)

평면도형에의 활용

가로와 세로의 길이가 각각 $a,b$인 직각삼각형에서 대각선 $l$의 관계는 $l$을 빗변으로 하는 직각삼각형이므로 아래와 같은 관계가 있다.

• $l={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

한 변의 길이가 $a$이고 높이가 $h$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 $S$, 꼭짓점 $A$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H$라고 하고 피타고라스 정리를 이용하여 그 관계를 정리하면 아래와 같다.

• ${\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AB}}^{2}$

  $\Leftrightarrow \left({1 \over 2}a\right)^{2}+h^{2}=a^{2}$

  $\Leftrightarrow h^{2}=a^{2}-\left({1 \over 2}a\right)^{2}={3 \over 4}a^{2}$

  $\Leftrightarrow h={\sqrt {{3 \over 4}a^{2}}}={{\sqrt {3}} \over 2}a$

• $S={1 \over 2}ah={1 \over 2}\times a\times {{\sqrt {3}} \over 2}a^{2}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$

두 각의 크기가 $45^{\circ }$인 직각삼각형이 있을 때 세 변 $a,b,c$($c$는 빗변)의 비는 $1:1:{\sqrt {2}}$이고, 두 각이 각각 $30^{\circ }$, $60^{\circ }$이 있을 때 세 변 $a,b,c$($c$는 빗변, $a<b$)의 비는 $1:{\sqrt {3}}:2$이다.

입체도형에의 활용

$l={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

오른쪽 그림과 같은 직육면체가 있을 때 직육면체의 대각선의 길이에 대해 정리하면 아래와 같다.

• ${\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}$

  $\Leftrightarrow {\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}$

  $\Leftrightarrow {\overline {AD}}={\sqrt {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}}}$

따라서 가로, 세로, 높이의 길이가 각각 $a,b,c$인 정육면체의 대각선의 길이 $l$은 아래와 같다.

• $l={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

밑면의 반지름의 길이가 $r$이고 모선의 길이가 $l$인 원뿔이 있을 때 높이 $h$와 부피 $V$에 대해 피타고라스 정리를 활용하여 정리하면 아래와 같다.

• $h^{2}=r^{2}-l^{2}$

  $\Leftrightarrow h={\sqrt {l^{2}-r^{2}}}$

• $V={1 \over 3}\pi r^{2}h={{\sqrt {l^{2}-r^{2}}} \over 3}\pi r^{2}$

한 변의 길이가 $a$인 정사각형을 밑면으로하고 옆면의 모서리의 길이가 $b$인 정사각뿔의 높이 $h$와 부피 $V$에 대해 피타고라스 정리를 활용하여 정리하면 아래와 같다.

• $h^{2}=b^{2}-\left({{\sqrt {2}} \over 2}a\right)^{2}$

  $\Leftrightarrow h={\sqrt {b^{2}-{a^{2} \over 2}}}$

• $V={1 \over 3}a^{2}h={{b^{2}-{a^{2} \over 2}} \over 3}a^{2}$

참고 문헌

• (2011) 《교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] 수학과 교육과정》. 대한민국 교육과학기술부